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Vol. 5 N° 2, julio-diciembre 2026 (387-412)
ISSN: 2960-8317
387
Artículo de investigación
Benchmark del rendimiento en cinemática directa del UR10:
matrices vs. cuaterniones duales con Julia y RoboDK
UR10 forward kinematics performance benchmark: matrices vs. dual
quaternions with Julia and RoboDK
Marlon Stalyn Cargua Cando*
Universidad Nacional de Chimborazo
Riobamba – Ecuador
marlon.cargua@unach.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-1255-4858
Guillermo Edvin Machado Sotomayor
Universidad Nacional de Chimborazo
Riobamba – Ecuador
gmachado@unach.edu.ec
https://orcid.org/0000-0001-5226-468X
*Correspondencia:
marlon.cargua@unach.edu.ec
Cómo citar este artículo:
Cargua, M., & Machado, G. (2026).
Benchmark del rendimiento en cinemática
directa del UR10: matrices vs. cuaterniones
duales con Julia y RoboDK. Esprint
Investigación, 5(2), 387-412.
https://doi.org/10.61347/ei.v5i2.375
Recibido: 13 de agosto de 2026
Aceptado: 14 de septiembre de 2026
Publicado: 21 de septiembre de 2026
Resumen: La simulación y el control de robots manipuladores requieren
representaciones eficientes para la composición de transformaciones rígidas asociadas al
cálculo de la cinemática directa (FK). El presente estudio evalúa comparativamente el
desempeño computacional de matrices de transformación homogénea y cuaterniones
duales unitarios mediante un benchmark aplicado al manipulador colaborativo UR10 de
Universal Robots, con seis grados de libertad. La metodología se fundamentó en la
convención Denavit-Hartenberg, utilizando datos articulares extraídos mediante la API
de Python de RoboDK y procesados en Julia mediante las librerías Quaternions.jl,
ForwardDiff.jl y BenchmarkTools.jl. El entorno experimental estuvo compuesto por un
procesador AMD Ryzen 7 de 2.00 GHz, 8 GB de RAM y arquitectura de 64 bits. Ambas
representaciones fueron comparadas bajo condiciones controladas considerando como
métricas el tiempo de ejecución y el uso de memoria durante la composición sucesiva de
seis transformaciones rígidas. La equivalencia matemática entre ambos formalismos se
verificó mediante la reconstrucción de la transformación homogénea a partir del
cuaternión dual compuesto, observándose diferencias asociadas únicamente al redondeo
numérico de punto flotante. Los resultados proporcionan evidencia empírica sobre el
comportamiento computacional de ambas implementaciones y contribuyen al análisis de
alternativas algebraicas para la optimización de operaciones asociadas con la cinemática
directa en manipuladores robóticos.
Palabras clave: Cinemática directa, cuaterniones duales, Denavit-Hartenberg,
manipulador UR10, matrices de transformación homogéneas.
Abstract: The simulation and control of robotic manipulators require efficient representations
for the composition of rigid transformations associated with forward kinematics (FK)
computation. This study comparatively evaluates the computational performance of homogeneous
transformation matrices and unit dual quaternions through a benchmark applied to the UR10
collaborative robot from Universal Robots, a six-degree-of-freedom manipulator. The methodology
was based on the Denavit–Hartenberg convention, using joint data extracted through the
RoboDK Python API and processed in Julia using the Quaternions.jl, ForwardDiff.jl, and
BenchmarkTools.jl libraries. The experimental environment consisted of an AMD Ryzen 7 2.00
GHz processor, 8 GB of RAM, and a 64-bit architecture. Both representations were compared
under controlled conditions, considering execution time and memory usage as evaluation metrics
during the successive composition of six rigid transformations. The mathematical equivalence
between both formalisms was verified by reconstructing the homogeneous transformation from
the composed dual quaternion, with the observed differences attributed exclusively to floating-
point numerical rounding. The results provide empirical evidence regarding the computational
behavior of both implementations and contribute to the analysis of algebraic alternatives for
optimizing operations associated with forward kinematics in robotic manipulators.
Keywords: Forward kinematics, dual quaternions, Denavit–Hartenberg, UR10 manipulator,
homogeneous transformation matrices.
.
Copyright: Derechos de autor 2026 Marlon
Stalyn Cargua Cando, Guillermo Edvin
Machado Sotomayor
Esta obra está bajo una licencia internacional
Creative Commons Atribución-
NoComercial 4.0.
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1. Introducción
La cinemática directa constituye un componente fundamental del modelado, control y simulación de
robots manipuladores, debido a que permite determinar la posición y orientación del efector final a
partir de una configuración articular determinada. Su formulación resulta indispensable para la
planificación del movimiento, el seguimiento de trayectorias y la ejecución de tareas de manipulación
en sistemas robóticos industriales y colaborativos (Liu et al., 2018; Menon et al., 2019). En este contexto,
el UR10 de Universal Robots corresponde a un manipulador colaborativo de seis grados de libertad
empleado en aplicaciones que requieren precisión, repetibilidad y coordinación espacial (Petrone et
al., 2025). La resolución de su cinemática directa puede abordarse mediante diferentes formalismos
matemáticos destinados a representar las relaciones geométricas existentes entre sus articulaciones y
la pose final del robot.
Entre los procedimientos más utilizados para estructurar estas relaciones se encuentra la
convención de Denavit-Hartenberg, ampliamente aplicada en el modelado cinemático de
manipuladores de cadena abierta (Liu et al., 2018; Živković et al., 2022). A partir de sus parámetros es
posible construir transformaciones rígidas sucesivas que describen la posición y orientación relativa
entre los diferentes sistemas de referencia asociados a las articulaciones. Estas transformaciones
pueden representarse mediante matrices homogéneas de dimensión 4 × 4, las cuales integran rotación
y traslación dentro de una misma estructura algebraica. Su utilización se mantiene extendida en
robótica debido a su interpretación geométrica directa, su compatibilidad con herramientas de
simulación y su aplicación en algoritmos de cinemática y control.
Los cuaterniones duales constituyen una alternativa algebraica para representar movimientos
rígidos mediante una formulación compacta que combina simultáneamente rotación y traslación. Esta
representación ha sido empleada en cinemática directa e inversa, control de orientación, modelado
dinámico, transformación de coordenadas y coordinación de sistemas multirrobot (AlAttar &
Kormushev, 2020; Dantam, 2021; Giribet et al., 2026; Zeng et al., 2024). Su estructura permite describir
transformaciones espaciales mediante ocho componentes sujetas a restricciones algebraicas, evitando
parte de la redundancia presente en las matrices homogéneas (Adorno & Marinho, 2021; Qi et al., 2021).
En consecuencia, los cuaterniones duales han adquirido relevancia como herramienta matemática para
representar movimientos rígidos dentro del grupo especial euclidiano SE(3).
La equivalencia entre matrices homogéneas y cuaterniones duales permite describir una misma
transformación rígida mediante formalismos algebraicos diferentes. Diversos trabajos han demostrado
que ambas representaciones pueden emplearse para modelar movimientos de cuerpos rígidos,
preservar relaciones geométricas y establecer correspondencias entre rotaciones y traslaciones
tridimensionales (Cohen & Shoham, 2020; Condurache & Popa, 2023; Yaqub & Schröcker, 2025). Esta
relación también ha sido estudiada en problemas de estimación, sincronización, calibración y control
de robots, donde la formulación mediante cuaterniones o cuaterniones duales permite desarrollar
representaciones compactas de la pose (Huang et al., 2026; Solà et al., 2018; Zhao et al., 2026). Por tanto,
la elección entre ambos formalismos no depende exclusivamente de su validez matemática, sino
también de las características de implementación y del contexto computacional en el que se utilizan.
Desde una perspectiva computacional, los cuaterniones duales presentan propiedades que pueden
resultar favorables en aplicaciones que requieren la ejecución repetida de transformaciones rígidas. Su
estructura de tamaño fijo, menor redundancia paramétrica y capacidad para unificar rotación y
traslación han motivado su incorporación en bibliotecas y algoritmos orientados al modelado y control
robótico (Adorno & Marinho, 2021; Dantam, 2021). Investigaciones recientes también han incorporado
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matrices homogéneas y cuaterniones duales en modelos de aprendizaje y políticas cinemáticas,
evidenciando que ambos formalismos continúan siendo relevantes en arquitecturas robóticas
modernas (Diprasetya et al., 2025). Sin embargo, las ventajas estructurales atribuidas a una
representación no implican necesariamente un mejor desempeño computacional en todas las
implementaciones.
El rendimiento efectivo de un algoritmo depende del lenguaje de programación, la estructura de
datos, la administración de memoria, las optimizaciones del compilador y la arquitectura de hardware
utilizada durante la ejecución. Estudios sobre optimización de código han demostrado que
modificaciones en la representación de datos y en las estrategias de compilación pueden producir
diferencias relevantes en tiempo de procesamiento, consumo de memoria y confiabilidad
computacional (Klepl et al., 2024; Santos et al., 2024). Estas consideraciones adquieren mayor
importancia en aplicaciones robóticas que requieren cálculos repetitivos dentro de ciclos de control de
alta frecuencia, donde pequeñas variaciones en el tiempo de ejecución pueden afectar la respuesta del
sistema. En este tipo de escenarios, la evaluación experimental de las implementaciones constituye un
complemento necesario al análisis puramente algebraico.
La necesidad de optimizar el cálculo cinemático resulta especialmente relevante en sistemas de
control en tiempo real. En estos entornos, los algoritmos deben procesar transformaciones, estados
articulares y referencias de movimiento dentro de intervalos reducidos para mantener una respuesta
adecuada del manipulador (Wittmann et al., 2022). De manera adicional, las asignaciones dinámicas
de memoria pueden introducir variabilidad en el tiempo de ejecución cuando intervienen mecanismos
automáticos de administración de recursos. Por ello, el tiempo de procesamiento y el uso de memoria
constituyen indicadores pertinentes para comparar implementaciones alternativas de una misma
formulación cinemática.
En el presente estudio, RoboDK se emplea como entorno de simulación para obtener
configuraciones articulares y poses asociadas al UR10, facilitando la integración entre el modelo
robótico y el procedimiento experimental. Este tipo de plataformas permite reproducir trayectorias y
configuraciones de robots industriales en condiciones controladas, además de proporcionar
información cinemática para su posterior procesamiento (Pollák & Goryl, 2023). La implementación
numérica se desarrolla en Julia, un lenguaje orientado al cálculo científico y al procesamiento de alto
rendimiento que ha demostrado utilidad en aplicaciones computacionales intensivas (Roesch et al.,
2023). Adicionalmente, BenchmarkTools.jl permite realizar mediciones repetidas y reproducibles del
tiempo de ejecución y de las asignaciones de memoria, reduciendo la influencia de variaciones
ocasionales durante la evaluación.
Aunque la literatura disponible documenta ampliamente las propiedades algebraicas de los
cuaterniones duales y su aplicación en diferentes problemas robóticos, la evidencia comparativa sobre
su desempeño computacional frente a las matrices homogéneas continúa siendo limitada. Los estudios
existentes se han concentrado principalmente en cinemática, control, modelado, estimación de pose,
transformación de coordenadas y formulaciones matemáticas de movimientos rígidos (AlAttar &
Kormushev, 2020; Dantam, 2021; Nekoo et al., 2022; Xu & Halse, 2016). En la revisión realizada no se
identificó un benchmark centrado específicamente en el UR10 que compare ambas representaciones
bajo un mismo entorno de hardware y software, utilizando datos articulares extraídos directamente
desde RoboDK. Esta ausencia evidencia la necesidad de evaluar experimentalmente si las diferencias
estructurales entre ambas representaciones se traducen en variaciones observables de rendimiento.
Como supuesto de trabajo se plantea que, bajo el entorno evaluado, la composición mediante
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cuaterniones duales exhibirá menores tiempos de ejecución y una menor presión sobre el recolector de
basura, debido a la naturaleza de tamaño fijo de su estructura de datos. Este supuesto se fundamenta
en las características compactas de los cuaterniones duales y en su capacidad para representar de
manera unificada las transformaciones rígidas, aunque su comportamiento efectivo depende de las
condiciones específicas de implementación y ejecución (Adorno & Marinho, 2021; Dantam, 2021). En
este contexto, se formula la siguiente pregunta de investigación: ¿cuál es el desempeño computacional,
en términos de tiempo de ejecución y uso de memoria, de la composición de transformaciones rígidas
mediante matrices homogéneas frente a cuaterniones duales unitarios en la cinemática directa del
UR10 con datos obtenidos desde RoboDK, bajo condiciones controladas de hardware y software? Esta
interrogante orienta la comparación empírica entre ambas representaciones dentro de un escenario
computacional reproducible y delimitado.
El objetivo del presente estudio es evaluar cuantitativamente el desempeño computacional de las
matrices de transformación homogénea y de los cuaterniones duales unitarios en la composición de la
cinemática directa del UR10, considerando como parámetros de comparación el tiempo de ejecución y
el uso de memoria mediante un protocolo de benchmark estandarizado y estadísticamente robusto.
Para alcanzar este propósito, se integran datos articulares y de pose obtenidos desde la API de Python
de RoboDK con implementaciones desarrolladas en Julia, de manera que ambas representaciones sean
evaluadas bajo las mismas condiciones experimentales. La comparación se centra en el
comportamiento computacional de implementaciones concretas y no en establecer una superioridad
matemática general entre ambos formalismos, puesto que representan transformaciones rígidas
equivalentes. Bajo este enfoque, los resultados permiten valorar si las diferencias estructurales
descritas en la literatura se traducen en variaciones observables de rendimiento durante la ejecución
de la cinemática directa.
Como primer aporte, se propone un flujo reproducible que integra la extracción de datos articulares
y de pose del manipulador UR10 mediante la API de Python de RoboDK con la construcción de
cuaterniones duales unitarios en Julia mediante diferenciación automática. Este flujo establece una
conexión directa entre el entorno de simulación robótica y el entorno de cálculo numérico utilizado
para ejecutar las transformaciones y registrar las métricas de desempeño. La integración permite
mantener consistencia entre los datos de entrada empleados por ambas representaciones y facilita la
repetición del procedimiento bajo configuraciones equivalentes. Las funciones desarrolladas para este
propósito se encuentran documentadas dentro del software asociado al estudio, favoreciendo la
reproducibilidad del procedimiento experimental (Cargua, 2026).
Como segundo aporte, se establece un protocolo de benchmark estadísticamente robusto
compuesto por 10 000 muestras y un proceso de calibración adaptativa mediante BenchmarkTools.jl.
El protocolo incorpora la documentación de las especificaciones de hardware y software utilizadas
durante las mediciones, aspecto necesario para interpretar correctamente los resultados de
rendimiento computacional. Esta estrategia permite disminuir la influencia de variaciones ocasionales
en los tiempos de ejecución y obtener métricas comparables dentro de un mismo entorno experimental.
Además, la descripción explícita de las condiciones de evaluación facilita la réplica del benchmark en
otros sistemas y permite analizar posteriormente la sensibilidad de los resultados frente a diferentes
configuraciones de hardware o software.
Como tercer aporte, se generan datos empíricos comparativos sobre el tiempo de ejecución y el uso
de memoria de las implementaciones basadas en matrices homogéneas y cuaterniones duales. Esta
evidencia permite contrastar las ventajas estructurales y computacionales atribuidas teóricamente a los
cuaterniones duales con mediciones obtenidas durante la ejecución de un caso específico de cinemática
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robótica (Adorno & Marinho, 2021; Dantam, 2021). La evaluación bajo un mismo entorno de hardware
y software reduce la influencia de factores externos que podrían dificultar una comparación directa
entre ambas representaciones. De esta manera, el estudio complementa el análisis algebraico
disponible en la literatura con evidencia cuantitativa derivada de una implementación reproducible.
Como cuarto aporte, se desarrollan funciones de conversión bidireccional entre matrices
homogéneas y cuaterniones duales, destinadas a facilitar la interoperabilidad entre el entorno de
simulación y el entorno de cálculo numérico. Estas funciones permiten transformar de manera
consistente una pose expresada mediante matrices homogéneas a su representación equivalente
mediante cuaterniones duales y realizar también el proceso inverso. Su incorporación favorece la
validación cruzada de las transformaciones obtenidas y facilita la integración de ambos formalismos
dentro de un mismo flujo de trabajo. Este componente resulta particularmente útil en escenarios donde
distintas herramientas o bibliotecas emplean representaciones diferentes para describir la posición y
orientación de un manipulador.
El resto del artículo se organiza de la siguiente manera: la Sección 2 presenta las operaciones
matemáticas preliminares necesarias para la composición de transformaciones rígidas mediante
matrices homogéneas y cuaterniones duales, incluyendo el homomorfismo existente entre ambas
estructuras algebraicas. La Sección 3 describe el algoritmo de trabajo, los recursos de hardware y
software empleados, el conjunto de datos utilizado y el protocolo de benchmark implementado para
evaluar ambas representaciones. La Sección 4 presenta y discute los resultados obtenidos mediante la
macro @benchmark, con énfasis en el tiempo de ejecución, las asignaciones y el uso de memoria
observados durante las pruebas. Finalmente, se presentan las conclusiones derivadas del análisis
comparativo, así como las principales implicaciones y limitaciones asociadas al entorno experimental
evaluado.
Fundamentos matemáticos de las representaciones cinemáticas
Una matriz de transformación homogénea es una matriz cuadrada de dimensión 4 × 4 que representa
una transformación rígida en el espacio tridimensional mediante coordenadas homogéneas y
constituye el primero de los dos formalismos matemáticos evaluados en este benchmark. Su estructura
general es:
Donde:
, matriz de cosenos directores (DCM : 3×3);
, con
.
es el vector de traslación.
es un vector fila nulo.
El conjunto de todas las matrices (T) con esta estructura, junto con la operación de multiplicación
matricial, forma el grupo especial euclidiano (SE(3)), el grupo de Lie que describe todas las
transformaciones rígidas posibles (rotación + traslación) en el espacio tridimensional (Solà et al., 2021).
Sea el marco de referencia de la base del UR10, obtenido en la estación de RoboDK como “UR10 Base”,
cada transformación elemental entre articulaciones consecutivas del manipulador, derivada de los
parámetros DH, viene dada por una matriz homogénea local de tamaño 4 × 4.
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Por ejemplo, la sexta transformación (link 6, de la muñeca a la brida), sin rotación relativa y con una
traslación pura de 92.2 mm a lo largo del eje , con el formato de matriz homogénea es:
Dado que el UR10 posee seis grados de libertad, la pose resultante de la brida
se obtiene mediante
la composición sucesiva de las = 6 transformaciones elementales
; una por cada joint
del manipulador, a través del producto matricial en SE(3) (Liu et al., 2018) :
Por la regla de multiplicación en SE(3), la estructura del resultado es:
Donde
se obtiene recursivamente como
es decir, cada traslación local se rota por la orientación acumulada de las articulaciones
precedentes antes de sumarse a la traslación total (Huang et al., 2026) .
Cuaterniones
Habiendo establecido en la Sección 2.1 la matriz de transformación homogénea como primer
formalismo del benchmark, se presenta a continuación el segundo formalismo evaluado: el cuaternión
dual unitario. Su construcción se formaliza a partir de tres bloques conceptuales: cuaterniones simples,
números duales y diferenciación automática. Estos conceptos se integran en una sola narrativa,
alineada con la implementación desarrollada en Julia mediante el paquete Quaternions.jl.
Cuaterniones Simples
Un cuaternión es un número hipercomplejo de cuatro dimensiones, introducido por Sir William
Rowan Hamilton, capaz de representar rotaciones en el espacio tridimensional sin las singularidades
propias de los ángulos de Euler:
donde: e , y son las unidades imaginarias hipercomplejas (Qi et al., 2021). De
forma equivalente admite una representación escalar-vectorial, ,con que es la
que adopta internamente el tipo Quaternion{T} en la librería Quaternions.jl al instanciarse mediante el
constructor quat(w, x, y, z) (Alattar & Kormushev, 2020). Esta correspondencia directa entre la notación
matemática y la robustez de Julia es la que permite trasladar, sin ambigüedad, cada matriz de
rotación
de la sección 2.1 a su cuaternión equivalente.
between joint '/joint{5}' and object '/connection':
T_6 = [
1.000000 -0.000000 0.000000 0.000000;
0.000000 1.000000 -0.000000 0.000000;
0.000000 0.000000 1.000000 92.200000;
0.000000 0.000000 0.000000 1.000000
]
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Las operaciones aritméticas: multiplicación escalar, suma, producto de Hamilton (), conjugado y
norma, están precargadas de forma nativa sobre Quaternion{T} en Quaternions.jl (operadores *, +, conj,
abs). El producto de Hamilton entre dos cuaterniones:
y
se define como:
]. Un cuaternión unitario, ( codifica una
rotación de un ángulo θ alrededor de un eje unitario
mediante:
(Giribet et al., 2025) .
Una traslación pura de magnitud a lo largo del eje unitario
, se representa como un
cuaternión puro (parte escalar nula):
, este es el formato que exporta
el script de extracción de datos de RoboDK (download-FK.py) para cada transformación local del
UR10. Así, la sexta transformación (link 6, de la muñeca a la brida), sin rotación relativa y con una
traslación pura de 92.2 mm a lo largo del eje , con el formato de cuaternión simple y vector de
traslación es:
Números Duales
Los números duales extienden los números reales de forma análoga a como los números complejos
extienden con , para el efecto utilizan la propiedad
(Zeng et al., 2024). Un número
dual se define como d, donde corresponde al parte primal y la parte tangente.
Introducidos por William Kingdon Clifford, estos números son el fundamento algebraico de la
diferenciación automática (AD): si se evalúa una función f en un argumento dual x + ε (es decir, con
parte primal x y parte tangente unitaria), la condición ² = 0 hace que el resultado se expanda
exactamente como f
de modo que el coeficiente que acompaña a ε es, en ese
caso particular, la derivada exacta f′(x), sin las aproximaciones de la diferenciación numérica ni la
complejidad simbólica de la diferenciación tradicional.
Conviene distinguir aquí tres nociones que, aunque relacionadas, no son equivalentes: (i) el
álgebra dual como estructura puramente algebraica, definida únicamente por la propiedad ε² = 0; (ii)
la diferenciación automática (AD), que constituye una de las posibles interpretaciones o aplicaciones
de dicha álgebra, mas no la única; y (iii) el significado geométrico que se asigna a la parte tangente
en un contexto particular, como el de los cuaterniones duales, donde la misma álgebra codifica una
traslación.
Esta distinción importa porque, en la implementación de Julia de este benchmark, se reutiliza la
maquinaria de AD (ForwardDiff.jl) como contenedor algebraico ya construido para el nivel (iii);
aquello es una elección de implementación y no una necesidad matemática específica; así, cada
componente del cuaternión se instancia en Julia como ForwardDiff.Dual{Nothing, T, 1}, de modo
que la multiplicación de los mismos, precargada por Quaternions.jl, propaga automáticamente en la
parte tangente la información de traslación.
Cuaterniones Duales
Un cuaternión dual
se define como un número dual cuyas partes primal y tangente son, a su vez,
cuaterniones:
. Donde
es la parte real
between joint '/joint5' and object '/connection' [cuaternión + traslación]:
h_6 = quat( 1.000000, 0.000000, 0.000000, 0.000000 ) # [qw, qx, qy, qz]
t_6 = [ 0.000000, 0.000000, 92.200000 ] # [x, y, z] (mm)
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(rotación), y
es la parte tangente (traslación) con ; de tal manera que la dupla (
,
)
codifica de forma unificada y sin singularidades la transformación rígida completa (rotación + traslación)
en SE(3) (Dantam, 2021) .
En Julia, esta estructura se materializa en el tipo compuesto DualQuaternion{T}, cada una de las
cuatro componentes del Quaternion subyacente es, en sí misma, un ForwardDiff.Dual{Nothing, T, 1}
(Cohen & Shoham, 2020); el parte primal de cada dual almacena la componente de
, y la parte
tangente almacena la componente correspondiente a
.
Composición de Roto-Traslaciones con
en ³
Sea
el marco de referencia base del UR10, cada transformación elemental de la brida se representa
por un cuaternión dual unitario
donde
es un cuaternión unitario (
) que codifica la rotación y
recopila la traslación mediante la relación:
, siendo
el cuaternión puro asociado al vector de traslación
, el vector que
entrega el API de RoboDK. Esta relación es la que implementa la función motodual_from_quat(q_r,t)
del script de Julia (dualquat_composicion.jl), tomando como entrada la dupla
extraídos de la
simulación.
Un punto
representado como cuaternión puro
se transforma mediante
donde
es el conjugado dual, con
y
(Xu & Halse, 2018) . La
composición de dos transformaciones
y
se obtiene mediante el
producto de cuaterniones duales. Dado que
la transformación resultante
se reduce
a:
. En la cadena cinemática serial del cobot UR10, dada la secuencia
de transformaciones locales
, la pose final de la brida se calcula mediante
la multiplicación sucesiva de los seis cuaterniones duales:
Esta expresión es el análogo exacto, en el álgebra dual, de la composición matricial
presentada en la ecuación 2.1, ambas describen la misma cadena cinemática del UR10,
pero mediante estructuras algebraicas distintas. Computacionalmente, esta composición es la que se
somete a evaluación de desempeño mediante BenchmarkTools.jl, contrastando su costo en tiempo de
ejecución y memoria contra el de la composición matricial equivalente.
Homomorfismo de Grupos
Resolver el problema de la cinemática directa del UR10 admite, como se ha mostrado, dos caminos
algebraicos: el de las matrices homogéneas y el de los cuaterniones duales
. En robótica, el
modelo cinemático describe la relación entre el espacio articular y el espacio operativo mediante la
colocación de sistemas de coordenadas solidarias a cada eslabón y la determinación de las
transformaciones espaciales entre sistemas sucesivos.
Teorema 1. El grupo euclidiano especial
y el grupo de cuaterniones duales unitarios
están
relacionados mediante el homomorfismo:
, donde:
y su
inverso:
.
Esto implica, que existe un homomorfismo de grupos de Lie no abelianos
, ambas
estructuras describen exactamente los mismos movimientos rígidos, admiten conversión mutua sin
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pérdida de información (Zhao et al., 2026), y lo más relevante para este benchmark, preservan la
operación de composición. Integrar transformaciones en mediante producto matricial (ecuación
1) es matemáticamente equivalente a componerlas en
mediante producto de cuaterniones duales
(ecuación 3). Esta equivalencia es la que justifica, metodológicamente, el diseño del estudio; ambos
formalismos calculan exactamente la misma pose final de la brida del UR10 a partir de los mismos seis
pares de datos (
) extraídos del API de RoboDK.
2. Metodología
La investigación adoptó un enfoque cuantitativo, debido a que su propósito central consistió en la
medición objetiva de variables numéricas relacionadas con el tiempo de ejecución y el uso de memoria.
Estas variables se evaluaron mediante instrumentos de medición computacional, específicamente la
macro @benchmark del paquete BenchmarkTools.jl. El tratamiento de los datos se realizó a partir de
10 000 muestras obtenidas durante la ejecución de las pruebas. Posteriormente, se analizaron métricas
de tendencia central y dispersión para caracterizar el comportamiento computacional de cada
implementación.
El estudio se desarrolló mediante un diseño no experimental, de corte transversal y alcance
comparativo, orientado específicamente a la ejecución de un benchmark computacional. No se
manipularon variables independientes ni se establecieron grupos de control, debido a que la
comparación se centró en dos implementaciones ejecutadas bajo un mismo entorno experimental. Las
condiciones de hardware, software y configuración se mantuvieron constantes durante las pruebas
para reducir la influencia de factores externos sobre las mediciones. Bajo estas condiciones, se
observaron y compararon los comportamientos computacionales de las matrices homogéneas y los
cuaterniones duales unitarios.
Para la obtención de los datos correspondientes a la cinemática directa del UR10, se empleó la API
de Python de RoboDK. El marco de referencia externo respecto del cual se reportó la pose final del
manipulador fue identificado en la estación de simulación como “UR10 Base”. Una vez establecidos
los parámetros de Denavit-Hartenberg y el sistema de referencia correspondiente, se recuperó la pose
relativa mediante la función PoseWrt(). Este procedimiento permitió disponer de la información
espacial necesaria para reconstruir posteriormente las transformaciones asociadas con la cadena
cinemática del robot.
De manera paralela, se extrajeron los ángulos articulares correspondientes a la configuración
evaluada mediante el método robot.Joints(), que proporcionó los seis valores angulares asociados con
los grados de libertad del UR10. Estos valores se convirtieron a radianes y se utilizaron como variables
articulares
para construir individualmente las seis matrices de transformación homogénea locales. A
partir de dichas matrices se efectuó la composición secuencial correspondiente a la cinemática directa
del manipulador. Este procedimiento permitió obtener de manera independiente la transformación
acumulada desde la base hasta la brida del robot.
Con el propósito de verificar la coherencia entre la cadena cinemática calculada independientemente
y la solución proporcionada por RoboDK, se contrastó la composición de las seis matrices homogéneas
con el resultado obtenido mediante el método robot.SolveFK(). Este procedimiento resolvió la cinemática
directa desde el sistema de referencia de la base hasta la brida del manipulador para la configuración
articular seleccionada. La comparación permitió comprobar la correspondencia entre la formulación
implementada y la solución generada por el simulador. De esta manera, se estableció una referencia
común antes de realizar las posteriores transformaciones y evaluaciones computacionales.
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Cabe señalar que la estación utilizada no contó con una herramienta o Tool Center Point (TCP)
conectada al manipulador durante la extracción de los datos. Por esta razón, las poses obtenidas
correspondieron a la posición y orientación final de la brida del UR10 y no al extremo de una
herramienta de trabajo. Esta delimitación se mantuvo constante durante todas las etapas de
procesamiento y comparación de las representaciones matemáticas. Su consideración permitió evitar
discrepancias derivadas de transformaciones adicionales asociadas con herramientas externas al
modelo cinemático del robot.
Posteriormente, mediante la función pose_2_quaternion(), se extrajo el cuaternión simple
correspondiente, expresado como
, junto con su respectivo vector de traslación
.
Ambos componentes se utilizaron como representación intermedia para la posterior construcción del
cuaternión dual unitario en el entorno de Julia. La información obtenida permitió conservar de manera
diferenciada los componentes de rotación y traslación antes de integrarlos en la estructura dual. Este
procedimiento estableció el vínculo entre los datos obtenidos desde RoboDK y las operaciones
algebraicas implementadas posteriormente en Julia.
Para la implementación computacional se utilizó el entorno REPL de Julia, previa carga de las librerías
Quaternions.jl y ForwardDiff.jl. En este entorno se definieron, entre otras, las estructuras y funciones
const DualQuaternion{T}, motodual_from_quat(q_r, t), motodual(T) y dualmoto(H). La estructura
DualQuaternion{T} representó el cuaternión dual mediante cuatro componentes hipercomplejas, una
escalar y tres imaginarias, constituidas por números duales del tipo ForwardDiff.Dual{Nothing,T,1}. Esta
implementación permitió integrar dentro de una misma estructura los componentes requeridos para
representar las transformaciones rígidas utilizadas durante el estudio.
Cada número dual almacenó internamente un valor primal y una parte tangencial, cuya interacción
durante las operaciones aritméticas permitió propagar la información correspondiente a la traslación.
La función motodual_from_quat(q_r, t) constituyó el punto de conexión entre los datos extraídos desde
RoboDK y el álgebra dual implementada en Julia. Esta función construyó directamente un cuaternión
dual a partir del cuaternión simple de rotación
y del vector de traslación , sin requerir una
conversión previa a una matriz homogénea de 4 × 4. De este modo, se estableció una ruta directa de
transformación entre los datos proporcionados por el simulador y la representación dual empleada en
el benchmark.
Las funciones motodual(T) y dualmoto(H) se utilizaron como procedimientos complementarios
para realizar conversiones entre matrices homogéneas y cuaterniones duales. Ambas funciones
aprovecharon la correspondencia algebraica existente entre las dos representaciones y permitieron
transformar matrices en cuaterniones duales y efectuar el procedimiento inverso. Estas funciones,
junto con motodual_from_quat(q_r, t), fueron desarrolladas específicamente por el autor como parte
de la implementación requerida para el estudio. Su incorporación permitió disponer de mecanismos
de conversión necesarios para verificar la equivalencia entre las representaciones evaluadas.
Los cálculos correspondientes a las matrices homogéneas y la conversión hacia cuaterniones duales
se realizaron mediante los scripts download-FK.py y dualquat_composicion.jl, desarrollados
específicamente para esta investigación. El primer script se utilizó para extraer desde RoboDK la
información cinemática necesaria, mientras que el segundo permitió ejecutar las operaciones asociadas
con la representación mediante cuaterniones duales en Julia. Ambos scripts formaron parte del flujo
computacional utilizado para garantizar la reproducibilidad de la extracción, transformación y
procesamiento de los datos. El código desarrollado para estas operaciones se documentó como parte del
software asociado al estudio (Cargua, 2026).
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Explicación del Algoritmo
Como se estableció en la Sección 2.2.3, el cuaternión dual unitario fue capaz de representar
transformaciones rígidas generales, propiedad que permitió emplear la convención de Denavit-
Hartenberg de forma análoga al caso matricial, sustituyendo cada matriz homogénea local por su
cuaternión dual equivalente. El estudio adoptó una evaluación numérica orientada al procesamiento
de datos obtenidos a partir de la estación del UR10 modelada en RoboDK. Esta estrategia permitió
trabajar con las mismas transformaciones locales en ambos formalismos y mantener condiciones
equivalentes durante la comparación. De este modo, se garantizó que las diferencias observadas
correspondieran al procedimiento de composición implementado en cada representación.
Cabe precisar que el objeto del benchmark fue la operación de composición de transformaciones
rígidas y no el proceso completo de cálculo de la cinemática directa. En consecuencia, la evaluación se
concentró específicamente en la multiplicación encadenada de las seis transformaciones locales,
expresadas mediante matrices homogéneas o mediante sus cuaterniones duales unitarios equivalentes.
Esta delimitación permitió aislar la operación computacional de interés y reducir la intervención de
procesos adicionales que pudieran afectar las mediciones de rendimiento. Por tanto, los resultados
obtenidos correspondieron exclusivamente al desempeño de la composición sucesiva bajo las
condiciones experimentales establecidas.
El algoritmo se organizó en dos etapas acopladas: la extracción de los datos fuente desde RoboDK
y la composición y evaluación de las transformaciones rígidas en Julia. La primera etapa proporcionó
las configuraciones articulares, poses y transformaciones requeridas para construir las
representaciones evaluadas. La segunda etapa ejecutó la composición sucesiva mediante matrices
homogéneas y cuaterniones duales unitarios, además de registrar las métricas computacionales
correspondientes. El flujo general de ambas etapas se resume en las tablas 1 y 3.
Tabla 1
Etapa A. Extracción de datos cinemáticos (Python/RoboDK). Script download-FK.py
Paso
Procedimiento
1
Se estableció la conexión con la estación de RoboDK mediante Robolink() y se seleccionó el robot UR10 utilizando
ItemUserPick(..., ITEM_TYPE_ROBOT).
2
Se localizó el sistema de referencia externo denominado “UR10 Base” mediante RDK.Item(), con selección interactiva
dentro de la estación.
3
Se obtuvieron los seis ángulos articulares correspondientes a la configuración vigente mediante robot.Joints() y
posteriormente se convirtieron de grados a radianes para su utilización como variables articulares
.
4
Para cada eslabón se construyó la matriz homogénea local a partir de los parámetros de Denavit-Hartenberg del UR10
presentados en la tabla 2. Para ello se utilizó la función build_DH_matrix(a, d, α, θ), que implementó exactamente la forma
estándar:
5
De cada transformación se extrajo el par conformado por el cuaternión de rotación y el vector de traslación mediante
pose_2_quaternion() del módulo robodk.robomath. Los valores fueron generados en el formato quat(qw, qx, qy, qz) para su
posterior utilización en el entorno REPL de Julia.
6
Se validó la composición Base→Brida mediante su comparación con la solución nativa obtenida a través de
robot.SolveFK(). De igual manera, la composición Referencia→Brida se contrastó con robot.PoseWrt(frame_ref), obteniéndose
un error máximo absoluto de 1 mm en ambos casos.
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Tabla 2
Parámetros DH del UR10 (mm;
y en grados), usados por build_DH_matrix()
Articulación
(mm)
(mm)
(°)
(°)
1
0.0
127.300
90.0
0.0
2
−612.7
0.000
0.0
−90
3
−572.3
0.000
0.0
−90
4
0.0
163.941
90.0
0.0
5
0.0
115.700
−90.0
90
6
0.0
92.200
0.0
0.0
Tabla 3
Etapa B. Composición en cuaterniones duales (Julia). El script dualquat_composicion.jl
Paso
Procedimiento
1
Construcción de cada matriz homogénea equivalente
y de cada cuaternión dual local
mediante
motodual_from_quat(q_r, t), que implementó la relación de la ecuación correspondiente.
2
Composición en ambos formalismos: r = T_1*T_2*T_3*T_4*T_5*T_6 para la representación matricial y n =
H_1*H_2*H_3*H_4*H_5*H_6 para los cuaterniones duales, correspondientes, respectivamente, a la ecuación (1) y
a la ecuación (3) de la Sección 2.
3
Reconstrucción inversa mediante e = dualmoto(n), que convirtió el cuaternión dual compuesto nuevamente en una
matriz de 4 × 4 mediante rotmatrix_from_quat() y translation(), permitiendo comparar numéricamente r con e como
verificación directa del homomorfismo.
4
Evaluación del desempeño de ambas composiciones mediante la macro @benchmark de BenchmarkTools.jl.
La figura 1 muestra el flujo metodológico utilizado para la extracción, transformación y evaluación
de los datos cinemáticos del UR10.
Figura 1
Flujo de extracción (RoboDK/Python) y composición-verificación-benchmark (Julia), adaptado al enfoque numérico basado
en datos reales de simulación
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En la primera etapa, desarrollada en RoboDK/Python, se obtuvieron los ángulos articulares
mediante Joints(), se construyeron las matrices de transformación homogénea a partir de los
parámetros DH y se extrajeron los cuaterniones de rotación junto con sus vectores de traslación
mediante pose_2_quaternion(). Además, se realizó la validación de la cinemática directa mediante
SolveFK() y PoseWrt(). Posteriormente, los pares
fueron transferidos al entorno Julia, donde se
generaron los cuaterniones duales locales, se efectuó la composición de matrices homogéneas y
cuaterniones duales, se reconstruyó la matriz equivalente y se evaluó el desempeño computacional
mediante @benchmark.
Materiales
El estudio se ejecutó en una computadora de escritorio HP equipada con un procesador AMD Ryzen
7 de 2.00 GHz, 8 GB de memoria RAM y arquitectura de 64 bits. Como lenguaje de programación se
utilizó Julia 1.12, mientras que BenchmarkTools.jl se empleó como herramienta para la ejecución del
benchmark computacional. Para las operaciones relacionadas con el álgebra de cuaterniones y la
diferenciación automática se utilizaron las librerías Quaternions.jl y ForwardDiff.jl. La simulación y
extracción de los datos cinemáticos se realizaron mediante RoboDK 5.9 y su API de Python,
específicamente a través del módulo robolink y del script download-FK.py.
Las matrices de transformación homogénea se implementaron mediante el tipo Matrix{Float64},
con una dimensión de 4 × 4. Cada operación de composición se efectuó mediante la multiplicación
de matrices densas de esta dimensión. En términos aritméticos, cada multiplicación involucró 64
productos y 48 sumas de punto flotante. Esta implementación constituyó la representación matricial
utilizada posteriormente durante las pruebas de desempeño computacional.
Los cuaterniones duales unitarios se implementaron mediante el tipo compuesto de Julia const
DualQuaternion{T} = Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing, T, 1}}. Esta estructura encapsuló las
partes real y dual en un único objeto inmutable de tamaño fijo, conformado por ocho números de
punto flotante almacenados sin recurrir a arreglos dinámicos. La composición se ejecutó mediante el
operador * implementado en Quaternions.jl y aplicado sobre elementos del tipo ForwardDiff.Dual.
Durante esta operación, la parte tangencial permitió propagar automáticamente la información
correspondiente a la traslación.
Dataset y parámetros cinemáticos
Se calcularon las matrices de transformación homogénea y los cuaterniones duales equivalentes para
las seis articulaciones del UR10, utilizando los parámetros de Denavit-Hartenberg extraídos
directamente del panel de parámetros nominales de RoboDK. Cada transformación local fue
representada mediante ambos formalismos con el propósito de disponer de entradas equivalentes
para la comparación computacional. Las matrices homogéneas se implementaron como estructuras
Matrix{Float64} de dimensión 4 × 4. Los cuaterniones duales se representaron mediante el tipo
Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing, Float64, 1}} (tabla 4).
Se evaluó la composición de seis transformaciones elementales, una por cada articulación del UR10,
con el propósito de obtener la pose final de la brida. Todas las transformaciones correspondieron a la
configuración articular vigente en la estación de RoboDK al momento de la extracción. Esta misma
configuración se mantuvo para ambos formalismos con el fin de garantizar condiciones equivalentes
durante la comparación. De este modo, la evaluación se concentró exclusivamente en las diferencias
computacionales asociadas con cada representación.
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Tabla 4
Matrices de transformación homogéneas y cuaterniones duales equivalentes
Transformación
Matriz homogénea
Cuaternión dual
1
T₁ = 4 × 4 Matrix{Float64}:
1.0 −0.0 0.0 0.0
0.0 0.0 −1.0 0.0
0.0 1.0 0.0 127.3
0.0 0.0 0.0 1.0
H₁ = Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing,
Float64, 1}}
s = Dual{Nothing}(0.7071067811865476, 0.0)
v1 = Dual{Nothing}(0.7071067811865475, 0.0)
v2 = Dual{Nothing}(0.0, 45.00734662252375)
v3 = Dual{Nothing}(0.0, 45.007346622523755)
2
T₂ = 4 × 4 Matrix{Float64}:
0.0 1.0 −0.0 −0.0
−1.0 0.0 −0.0 612.7
0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0
H₂ = Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing,
Float64, 1}}
s = Dual{Nothing}(0.7071067811865476, 0.0)
v1 = Dual{Nothing}(0.0, −216.62216241649884)
v2 = Dual{Nothing}(−0.0, 216.62216241649887)
v3 = Dual{Nothing}(−0.7071067811865475, 0.0)
3
T₃ = 4 × 4 Matrix{Float64}:
0.0 1.0 −0.0 −0.0
−1.0 0.0 −0.0 572.3
0.0 0.0 1.0 0.0
0.0 0.0 0.0 1.0
H₃ = Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing,
Float64, 1}}
s = Dual{Nothing}(0.7071067811865476, 0.0)
v1 = Dual{Nothing}(0.0, −202.33860543653054)
v2 = Dual{Nothing}(−0.0, 202.33860543653057)
v3 = Dual{Nothing}(−0.7071067811865475, 0.0)
4
T₄ = 4 × 4 Matrix{Float64}:1.0 −0.0 0.0 0.00.0 0.0 −1.0 0.00.0
1.0 0.0 163.9410.0 0.0 0.0 1.0
H₄ = Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing,
Float64, 1}}
s = Dual{Nothing}(0.7071067811865476, 0.0)
v1 = Dual{Nothing}(0.7071067811865475, 0.0)
v2 = Dual{Nothing}(0.0, 57.96189640725189)
v3 = Dual{Nothing}(0.0, 57.9618964072519)
5
T₅ = 4 × 4 Matrix{Float64}:
0.0 −0.0 −1.0 0.0
1.0 0.0 0.0 0.0
0.0 −1.0 0.0 115.7
0.0 0.0 0.0 1.0
H₅ = Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing,
Float64, 1}}
s = Dual{Nothing}(0.5, −28.925)
v1 = Dual{Nothing}(−0.5, 28.925)
v2 = Dual{Nothing}(−0.5, −28.925)
v3 = Dual{Nothing}(0.5, 28.925)
6
T₆ = 4 × 4 Matrix{Float64}:1.0 −0.0 0.0 0.00.0 1.0 −0.0 0.00.0
0.0 1.0 92.20.0 0.0 0.0 1.0
H₆ = Quaternion{ForwardDiff.Dual{Nothing,
Float64, 1}}
s = Dual{Nothing}(1.0, 0.0)
v1 = Dual{Nothing}(0.0, 0.0)
v2 = Dual{Nothing}(0.0, 0.0)
v3 = Dual{Nothing}(0.0, 46.1)
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El conjunto de prueba del benchmark estuvo compuesto por 10 000 muestras para cada formalismo.
Estas muestras correspondieron exclusivamente a ejecuciones repetidas de la misma composición de
seis transformaciones fijas y no a 10 000 configuraciones articulares diferentes. Durante la ejecución se
aplicó interpolación mediante $ sobre las variables de entrada para evitar el acceso a variables globales
dentro de BenchmarkTools.jl. Esta estrategia permitió mantener constantes los datos de entrada y
concentrar las mediciones en el costo computacional de la composición.
Protocolo Benchmark
El protocolo de benchmark se diseñó con el propósito de maximizar la validez interna y externa de
las mediciones, aprovechando las capacidades proporcionadas por BenchmarkTools.jl. Las variables
de entrada correspondientes a las matrices
y a los cuaterniones duales
se declararon
fuera del bloque de benchmark. Posteriormente, estas variables se interpolaron dentro de cada
expresión mediante el operador $, con el fin de evitar el uso de variables globales que pudieran
degradar el rendimiento. Antes de iniciar las mediciones se realizó una ejecución previa o warm-up
para excluir de los resultados el tiempo asociado con la compilación JIT.
El muestreo se efectuó de manera adaptativa, sin establecer previamente un número fijo de
evaluaciones por muestra. BenchmarkTools.jl ajustó dinámicamente el parámetro evals para cada
implementación de acuerdo con su velocidad de ejecución. Este procedimiento permitió obtener
mediciones suficientemente representativas dentro de cada muestra y reducir la influencia de
ejecuciones aisladas. La estrategia se mantuvo de manera equivalente para ambos formalismos con el
propósito de preservar condiciones comparables durante el benchmark.
El tamaño de la muestra se fijó en 10 000 ejecuciones para cada formalismo. Esta cantidad permitió
obtener una distribución amplia de los tiempos de ejecución y calcular estadísticos descriptivos
asociados con tendencia central y dispersión. Las 10 000 muestras correspondieron a repeticiones de
una misma composición de seis transformaciones fijas bajo condiciones controladas. En consecuencia,
el benchmark evaluó la estabilidad y el costo computacional de cada implementación y no la
variabilidad derivada de diferentes configuraciones articulares.
Los benchmarks se definieron mediante expresiones equivalentes para ambas representaciones.
Para las matrices de transformación homogénea se utilizó la expresión
@benchmark($T_1*$T_2*$T_3*$T_4*$T_5*$T_6), mientras que para los cuaterniones duales unitarios
se empleó @benchmark($H_1*$H_2*$H_3*$H_4*$H_5*$H_6). En ambos casos, la operación evaluada
correspondió exclusivamente a la composición sucesiva de las seis transformaciones locales asociadas
a las articulaciones del UR10. Esta equivalencia en la definición experimental permitió comparar
directamente el costo computacional de cada representación, manteniendo constante la operación
matemática evaluada y evitando diferencias derivadas del procedimiento de cálculo.
Las métricas registradas comprendieron el tiempo de ejecución, expresado mediante valores
mínimo, máximo, mediana, media y desviación estándar. También se evaluó el impacto del recolector
de basura mediante las métricas de GC, incluyendo media, desviación estándar, mínimo y máximo.
De forma complementaria, se registraron la memoria estimada y el número de asignaciones realizadas
durante cada operación de composición. Estos indicadores permitieron caracterizar tanto la velocidad
de ejecución como el comportamiento de memoria de ambas implementaciones.
Para garantizar la replicabilidad del procedimiento, todos los benchmarks se ejecutaron dentro del
mismo proceso activo de Julia y utilizando las mismas versiones de los paquetes requeridos. Se
mantuvieron constantes las condiciones de hardware, software y configuración durante toda la
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ejecución de las pruebas. Esta estrategia permitió reducir fuentes externas de variabilidad que
pudieran afectar la comparación entre las matrices homogéneas y los cuaterniones duales. De este
modo, las diferencias observadas se atribuyeron principalmente al comportamiento computacional de
las implementaciones evaluadas.
3. Resultados
Verificación Numérica de la Composición
Antes de comparar el desempeño computacional, se verifica que ambos formalismos produzcan la
misma pose final a partir de los mismos seis pares (
) extraídos de la estación del UR10 en RoboDK,
confirmando empíricamente el homomorfismo
del Teorema 1.
La composición matricial directa (ecuación 1) entrega:
y la composición de cuaterniones duales (ecuación 3),
. Al reconvertir
el resultado a matriz homogénea mediante e = dualmoto(n), se obtiene:
El error máximo elemento a elemento entre (r) y (e) se encontró en el orden de (
), valor que
corresponde aproximadamente al límite de precisión numérica de la representación de doble precisión
(Float64). Esta diferencia no representa una discrepancia algebraica entre ambas formulaciones, sino
el efecto acumulado del redondeo asociado a las operaciones sucesivas de punto flotante durante la
composición de las transformaciones. En consecuencia, la reconstrucción mediante cuaterniones
duales reprodujo la misma transformación rígida obtenida mediante matrices homogéneas dentro del
margen de precisión computacional disponible. Este resultado verificó numéricamente, sobre las
transformaciones obtenidas del modelo del UR10 en RoboDK, la equivalencia formal entre ambas
representaciones establecida en la Sección 2.3.
Resultados del Benchmark
El REPL de Julia presenta los siguientes resultados, para matrices de transformación homogéneas:
La figura 2 presenta la salida generada por la macro @benchmark de BenchmarkTools.jl durante la
evaluación de la composición sucesiva de las seis matrices de transformación homogénea del UR10. El
experimento fue ejecutado con 10 000 muestras y 120 evaluaciones por muestra, permitiendo
caracterizar la distribución del tiempo de ejecución de la operación matricial bajo condiciones
controladas.
Los resultados muestran un tiempo mínimo de ejecución de 732.500 ns, un tiempo máximo de 75.093
μs y una mediana de 812.500 ns. El tiempo promedio obtenido fue de 974.008 ns ± 2.076 μs,
evidenciando una dispersión asociada a variaciones propias del entorno de ejecución. El histograma
generado por la herramienta muestra una mayor concentración de mediciones en los intervalos
inferiores de tiempo, mientras que una menor cantidad de ejecuciones presentó valores superiores,
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reflejados en la cola extendida de la distribución.
En relación con la gestión de memoria, la operación mediante matrices homogéneas presentó una
estimación de 1.02 KiB de memoria utilizada y 10 asignaciones por ejecución. Además, se observó una
participación del recolector de basura con un promedio de 10.95 % ± 5.65 %, alcanzando valores
máximos de 98.28 % en algunas muestras. Estos resultados evidencian el comportamiento
computacional de la implementación matricial y constituyen la referencia experimental para la
comparación posterior con la representación mediante cuaterniones duales unitario.
Figura 2
Imagen de salida de la macro @benchmark para matrices homogéneas
Para cuaterniones duales unitarios:
La figura 3 presenta la salida generada por la macro @benchmark de BenchmarkTools.jl durante la
evaluación de la composición sucesiva de los seis cuaterniones duales unitarios correspondientes al
modelo cinemático del UR10. La prueba se ejecutó con 10 000 muestras y 979 evaluaciones por muestra,
utilizando la expresión de composición
. Esta configuración permitió obtener
una caracterización estadística del comportamiento computacional de la representación dual bajo
condiciones experimentales controladas.
Los resultados muestran un tiempo mínimo de ejecución de 60.776 ns, un tiempo máximo de 3.531
μs y una mediana de 64.556 ns. El tiempo promedio obtenido fue de 71.281 ns ± 59.552 ns, evidenciando
una baja dispersión respecto al rango total observado. El histograma generado por BenchmarkTools.jl
representa la distribución logarítmica de frecuencias por tiempo de ejecución, donde se aprecia una
concentración predominante de mediciones alrededor de los valores más bajos, correspondientes a
ejecuciones de corta duración.
En cuanto al comportamiento de memoria, la composición mediante cuaterniones duales unitarios
registró una estimación de 0 bytes de memoria utilizada y 0 asignaciones durante la operación
evaluada. De manera consistente, el recolector de basura no presentó actividad durante las mediciones,
registrando valores de 0.00 % tanto en la media como en el rango máximo observado. Estos resultados
muestran el comportamiento computacional de la implementación basada en cuaterniones duales y
permiten establecer una comparación directa con la representación mediante matrices homogéneas
presentada en la figura 2.
Figura 3
Imagen de salida de la macro @benchmark para cuaterniones duales
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La figura 4 presenta una comparación global del comportamiento computacional de las dos
representaciones evaluadas: matrices de transformación homogénea y cuaterniones duales unitarios.
La figura integra cuatro indicadores principales obtenidos durante la ejecución del benchmark:
número de evaluaciones realizadas por muestra, distribución del tiempo de ejecución,
comportamiento del recolector de basura y consumo de memoria junto con el número de asignaciones
generadas durante la composición de las seis transformaciones locales del UR10.
Figura 4
Imágenes comparativas de los resultados de la macro @benchmark
En el primer panel, correspondiente al entorno de benchmarking, se observa que BenchmarkTools.jl
realizó 120 evaluaciones por muestra para la composición matricial y 979 evaluaciones por muestra
para la composición mediante cuaterniones duales. Esta diferencia refleja el ajuste adaptativo del
número de repeticiones efectuado por la herramienta, asociado con la menor duración individual de
la operación basada en cuaterniones duales.
El segundo panel muestra la distribución de los tiempos de ejecución para ambas
implementaciones. Las matrices homogéneas presentaron una media de 974.0 ns ± 2.076 μs y una
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mediana de 812.5 ns, mientras que los cuaterniones duales alcanzaron una media de 71.3 ns ± 59.6 ns
y una mediana de 64.6 ns. La separación entre las distribuciones evidencia una diferencia en el costo
computacional de la operación de composición, con menores tiempos registrados para la
representación mediante cuaterniones duales bajo las condiciones experimentales evaluadas.
El tercer panel representa el comportamiento del recolector de basura (Garbage Collection, GC). La
implementación matricial mostró una mayor variabilidad en la intervención del GC, con valores medios
superiores y presencia de muestras con elevada participación del recolector. En contraste, la composición
mediante cuaterniones duales registró una actividad del GC de 0.00 %, indicando ausencia de
intervención del mecanismo de recolección de memoria durante las ejecuciones analizadas.
El cuarto panel compara el consumo de memoria y el número de asignaciones generadas durante
la ejecución. La composición mediante matrices homogéneas presentó un consumo aproximado de
1.02 KiB y 10 asignaciones, mientras que los cuaterniones duales registraron 0 bytes de memoria
adicional y 0 asignaciones. En conjunto, la figura resume las diferencias observadas entre ambas
implementaciones y complementa los resultados numéricos presentados en la tabla 5, evidenciando el
comportamiento temporal y de gestión de memoria de cada representación dentro del entorno
evaluado.
A partir de los valores obtenidos en la tabla 5 se calcularon razones comparativas entre ambas
implementaciones con el propósito de cuantificar las diferencias relativas en tiempo de ejecución,
comportamiento adaptativo del muestreo y gestión de memoria.
Tabla 5
Resultados comparativos del @benchmark para la composición de las seis transformaciones locales del UR10
Métrica
Matrices homogéneas
Cuaterniones duales
Muestras
10 000
10 000
Evaluaciones por muestra
120
979
Tiempo mínimo
732.500 ns
60.776 ns
Tiempo máximo
75.093 μs
3.531 μs
Tiempo mediano
812.500 ns
64.556 ns
Tiempo medio ± σ
974.008 ns ± 2.076 μs
71.281 ns ± 59.552 ns
GC medio ± σ
10.95 % ± 5.65 %
0.00 % ± 0.00 %
GC máximo
98.28 %
0.00 %
Memoria estimada
1.02 KiB
0 bytes
Asignaciones (allocs)
10
0
Nota. Los valores corresponden a la composición sucesiva de seis transformaciones locales del UR10 mediante matrices homogéneas y
cuaterniones duales unitarios, ejecutada bajo las mismas condiciones de hardware, software y configuración experimental. Las métricas
fueron obtenidas mediante la macro @benchmark de BenchmarkTools.jl con 10 000 muestras por formalismo.
En términos de velocidad de ejecución, la comparación basada en la mediana mostró que la
composición mediante cuaterniones duales presentó un tiempo de ejecución aproximadamente 12.6
veces menor que la composición mediante matrices homogéneas
. De forma
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equivalente, considerando el tiempo medio, la diferencia fue de aproximadamente 13.7 veces
. Estos resultados evidenciaron una reducción del costo temporal de la operación de
composición bajo la implementación basada en cuaterniones duales en el entorno evaluado.
Respecto al muestreo adaptativo, BenchmarkTools.jl realizó 979 evaluaciones por muestra para la
composición mediante cuaterniones duales y 120 evaluaciones por muestra para la representación
matricial, equivalente a una relación aproximada de 8.2 veces más repeticiones. Este comportamiento
se relacionó con la menor duración individual de la operación basada en cuaterniones duales, ya que
el mecanismo adaptativo incrementó el número de evaluaciones requeridas para obtener mediciones
estadísticamente representativas en operaciones de menor tiempo de ejecución.
En cuanto al consumo de memoria y asignaciones, la composición mediante cuaterniones duales
registró 0 bytes de memoria estimada y 0 asignaciones durante las 10 000 muestras evaluadas. En
contraste, la implementación mediante matrices homogéneas presentó un consumo de 1.02 KiB y 10
asignaciones por operación. Esta diferencia mostró un comportamiento distinto en la gestión de
memoria entre ambas representaciones dentro del entorno de ejecución utilizado.
Finalmente, el análisis del recolector de basura (Garbage Collector, GC) mostró que la composición
matricial presentó una participación media de 10.95 % ± 5.65 %, con valores máximos de hasta 98.28 %
en determinadas muestras. Por otro lado, la implementación mediante cuaterniones duales registró
una participación del GC de 0.00 % ± 0.00 %, sin actividad detectable durante las ejecuciones
analizadas. Estos resultados fueron consistentes con las diferencias observadas en las asignaciones de
memoria y permitieron complementar la evaluación del desempeño computacional de ambas
representaciones.
4. Discusión
Costo computacional por operación elemental
El comportamiento adaptativo de BenchmarkTools.jl proporcionó evidencia sobre las diferencias de
velocidad entre ambos formalismos evaluados. Para obtener una medición estadísticamente
representativa, el framework ejecutó 979 evaluaciones por muestra en la composición mediante
cuaterniones duales, frente a 120 evaluaciones por muestra en la composición matricial. Esta diferencia
estuvo asociada con la menor duración individual de la operación basada en cuaterniones duales,
debido a que el mecanismo adaptativo incrementó el número de repeticiones necesarias para
caracterizar operaciones de corta duración con mayor precisión.
La reducción del tiempo de ejecución observada es coherente con las propiedades estructurales de
los cuaterniones duales, los cuales permiten representar movimientos rígidos mediante una
formulación compacta que integra rotación y traslación en una única entidad algebraica (Qi et al., 2021;
Cohen & Shoham, 2020). Esta característica ha favorecido su incorporación en aplicaciones de
cinemática directa, control robótico y planificación de movimientos, donde se busca reducir la
complejidad computacional asociada con las representaciones tradicionales (Adorno & Marinho, 2021;
Dantam, 2021).
Los resultados obtenidos mostraron que la composición mediante cuaterniones duales presentó
menores tiempos de ejecución respecto a la representación matricial bajo las condiciones
experimentales establecidas. Este comportamiento puede relacionarse tanto con la estructura
matemática de la representación como con la implementación computacional utilizada en Julia, donde
el tipo compuesto DualQuaternion{T} permitió trabajar con una estructura de tamaño fijo, evitando
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procesos adicionales asociados con la manipulación de matrices dinámicas. Estudios recientes han
empleado representaciones basadas en cuaterniones duales para resolver problemas cinemáticos y de
control debido a su capacidad para manejar transformaciones rígidas evitando redundancias presentes
en otras parametrizaciones (Condurache & Popa, 2023; Giribet et al., 2026).
Estabilidad y predictibilidad temporal
Además de la reducción en el tiempo medio de ejecución, la composición mediante cuaterniones
duales mostró un comportamiento temporal diferente respecto a las matrices homogéneas. La
desviación estándar registrada para los cuaterniones duales fue de 59.552 ns, mientras que para las
matrices alcanzó 2.076 μs, evidenciando una mayor dispersión temporal en la implementación
matricial. Esta diferencia indica que, dentro del entorno evaluado, la operación basada en matrices
presentó una mayor variabilidad entre ejecuciones consecutivas.
En la implementación matricial se observó un valor máximo de 75.093 μs, aproximadamente 100
veces superior a su mediana de 812.500 ns. En sistemas robóticos donde los cálculos cinemáticos
forman parte de ciclos de control de alta frecuencia, las variaciones temporales pueden afectar la
predictibilidad del proceso computacional y generar fluctuaciones en los tiempos de actualización del
controlador (Wittmann et al., 2022). Por esta razón, la estabilidad temporal constituye un criterio
relevante además del tiempo promedio de ejecución.
En contraste, la implementación mediante cuaterniones duales presentó un rango comprendido
entre 60.776 ns y 3.531 μs, con una concentración predominante de muestras en los intervalos inferiores
observados en el histograma correspondiente. Este comportamiento coincide con investigaciones que
han utilizado cuaterniones duales para representar movimientos rígidos en sistemas robóticos,
destacando su capacidad para mantener formulaciones compactas y adecuadas para aplicaciones con
restricciones computacionales (Alattar & Kormushev, 2020; Zivković et al., 2022). No obstante, estos
resultados corresponden específicamente a la implementación desarrollada y al entorno
computacional utilizado.
Presión sobre el recolector de basura
Una de las diferencias más relevantes identificadas en el benchmark correspondió al comportamiento
asociado con la gestión de memoria. La representación mediante cuaterniones duales registró 0 bytes
de memoria estimada y 0 asignaciones, mientras que la implementación matricial presentó 1.02 KiB de
memoria utilizada y 10 asignaciones por operación. Esta diferencia refleja la interacción entre las
estructuras de datos utilizadas y el modelo de administración de memoria del lenguaje Julia.
El tipo DualQuaternion{T} empleado en este estudio corresponde a una estructura compuesta de
tamaño fijo, mientras que Matrix {Float64} representa un arreglo cuya gestión requiere memoria
dinámica. En consecuencia, la composición matricial generó objetos temporales asociados con las
operaciones de multiplicación, mientras que la implementación dual evitó asignaciones detectables
durante la operación evaluada. Este comportamiento coincide con estudios sobre optimización
computacional, donde la reducción de asignaciones temporales y una gestión eficiente de memoria
constituyen factores relevantes para mejorar el rendimiento de aplicaciones numéricas (Klepl et al.,
2024; Santos et al., 2024).
La ausencia de actividad del GC en la representación dual frente al 10.95 % ± 5.65 % de participación
media registrada en matrices homogéneas constituye un hallazgo relevante dentro del benchmark
realizado. Sin embargo, este resultado debe interpretarse como una consecuencia de la implementación
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específica en Julia y de la estructura utilizada, no como una propiedad exclusiva del formalismo
matemático de los cuaterniones duales independientemente del lenguaje de programación o del
compilador empleado.
Consistencia con el marco teórico
Los resultados obtenidos demostraron que las diferencias de rendimiento no implicaron pérdida de
exactitud en la representación de la transformación rígida. Como se presentó en la Sección 4.1, ambas
implementaciones produjeron la misma pose final de la brida del UR10 con diferencias del orden de la
precisión numérica de Float64, atribuibles al redondeo acumulado durante las operaciones de punto
flotante. Este comportamiento confirma que la comparación realizada evaluó exclusivamente las
características computacionales de cada representación y no diferencias asociadas con la solución
cinemática obtenida.
La equivalencia observada entre matrices homogéneas y cuaterniones duales fue coherente con el
fundamento matemático descrito en la literatura, donde ambas estructuras representan
transformaciones rígidas pertenecientes al grupo
mediante formulaciones algebraicamente
equivalentes (Solà et al., 2018; Xu & Halse, 2016; Zeng et al., 2024). Por tanto, el benchmark permitió
aislar los efectos relacionados con tiempo de ejecución, asignaciones de memoria y actividad del
recolector de basura, manteniendo constante la transformación geométrica representada.
Los resultados obtenidos complementan trabajos previos enfocados en cinemática robótica basada
en cuaterniones duales, como los desarrollados para modelado, control, calibración y transformación
de coordenadas (Dantam, 2021; Huang et al., 2026; Diprasetya et al., 2025). En este sentido, el presente
estudio aporta una evaluación experimental centrada específicamente en el costo computacional de la
composición de transformaciones rígidas del UR10 mediante una comparación controlada entre
matrices homogéneas y cuaterniones duales unitarios.
Limitaciones del Estudio
El presente estudio presenta limitaciones que delimitan el alcance de sus resultados e interpretación.
En primer lugar, las mediciones obtenidas corresponden a una única configuración de hardware y
software, conformada por un procesador AMD Ryzen 7 de 2.00 GHz, 8 GB de RAM y arquitectura de
64 bits, junto con implementaciones específicas desarrolladas en Julia mediante Quaternions.jl,
ForwardDiff.jl y BenchmarkTools.jl. En consecuencia, los valores registrados representan el
comportamiento de estas implementaciones bajo dicho entorno experimental y no pueden extrapolarse
directamente a otras arquitecturas computacionales, lenguajes de programación o versiones diferentes
de las librerías utilizadas. Por tanto, las diferencias observadas deben interpretarse como características
de la implementación evaluada y no como propiedades absolutas de los formalismos matemáticos
comparados.
En segundo lugar, el análisis se restringió a un único manipulador robótico, el UR10 de seis grados
de libertad, y exclusivamente al problema de cinemática directa. No se evaluaron escenarios
adicionales como cinemática inversa, control dinámico, planificación de trayectorias o manipuladores
con estructuras cinemáticas diferentes. Aunque los resultados permiten caracterizar el
comportamiento computacional de ambas representaciones en el caso estudiado, su extensión hacia
otros robots o problemas robóticos requiere evaluaciones adicionales bajo condiciones específicas.
En tercer lugar, los datos articulares empleados fueron obtenidos mediante simulación en RoboDK
y no mediante adquisición directa de un robot físico en operación. El propósito del estudio fue
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comparar el costo computacional de dos representaciones matemáticas bajo condiciones controladas,
por lo que no se abordó la validación experimental del modelo cinemático del simulador frente al
comportamiento real del UR10. En consecuencia, posibles diferencias derivadas de tolerancias
mecánicas, sensores, controladores industriales o incertidumbres del sistema físico se encuentran fuera
del alcance de esta investigación.
El protocolo de benchmark aplicado permitió obtener mediciones repetibles y estadísticamente
consistentes; sin embargo, las pruebas fueron ejecutadas en un entorno de escritorio convencional y no
sobre sistemas operativos de tiempo real ni plataformas embebidas utilizadas habitualmente en
controladores robóticos industriales. Por esta razón, los tiempos reportados representan el costo
computacional de las operaciones evaluadas dentro del entorno utilizado, pero no necesariamente
equivalen al comportamiento que podría observarse dentro de un ciclo de control físico desplegado en
hardware especializado.
El estudio comparó únicamente matrices de transformación homogénea y cuaterniones duales
unitarios implementados en el lenguaje Julia. No se incluyeron otras formulaciones matemáticas, como
representaciones basadas en teoría de tornillos, álgebra de Lie o parametrizaciones alternativas, ni
implementaciones desarrolladas en otros lenguajes o paradigmas computacionales como C++, Rust o
arquitecturas paralelas mediante GPU. Estas alternativas representan líneas potenciales para
investigaciones futuras orientadas a ampliar la comparación del rendimiento computacional entre
diferentes enfoques para la representación y composición de movimientos rígidos.
5. Conclusiones
En el escenario experimental definido, con hardware, software y configuración controlados, datos
articulares obtenidos desde la estación del UR10 en RoboDK y composición de seis transformaciones
locales mediante implementaciones desarrolladas en Julia, los cuaterniones duales unitarios
presentaron un menor costo computacional respecto a las matrices de transformación homogénea 4 ×
4 evaluadas en este estudio. La composición basada en cuaterniones duales alcanzó una reducción
aproximada de 12.6 veces en el tiempo mediano de ejecución, junto con una menor variabilidad
temporal durante las mediciones. Además, no registró asignaciones de memoria ni actividad del
recolector de basura, mientras que la implementación matricial presentó 1.02 KiB de memoria
estimada, 10 asignaciones y una participación media del GC de 10.95 %.
Los resultados obtenidos permitieron comprobar experimentalmente que las ventajas estructurales
atribuidas a los cuaterniones duales en la literatura pueden reflejarse en diferencias cuantificables de
rendimiento computacional cuando se implementan bajo condiciones controladas. En particular, la
representación dual mostró un comportamiento más eficiente en la operación específica de
composición de transformaciones rígidas analizada. Sin embargo, estos resultados corresponden
exclusivamente a las implementaciones realizadas en Julia mediante Quaternions.jl, ForwardDiff.jl y
BenchmarkTools.jl, por lo que no representan una comparación absoluta entre los formalismos
matemáticos independientemente del entorno computacional.
La verificación numérica realizada previamente permitió establecer que ambas representaciones
generaron la misma pose final de la brida del UR10, con diferencias del orden de la precisión de máquina
de doble precisión (Float64). Este resultado confirmó que las diferencias observadas durante el benchmark
estuvieron asociadas al costo computacional de cada implementación y no a discrepancias en la solución
cinemática obtenida. De esta manera, el estudio logró comparar el rendimiento de dos representaciones
algebraicamente equivalentes manteniendo constante la transformación rígida evaluada.
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En consecuencia, este trabajo aporta evidencia experimental sobre el comportamiento computacional
de matrices homogéneas y cuaterniones duales unitarios en la composición de la cinemática directa de
un manipulador industrial específico. Los resultados obtenidos proporcionan una referencia
reproducible para futuras evaluaciones que incorporen diferentes arquitecturas de hardware, lenguajes
de programación, plataformas embebidas o problemas robóticos adicionales, con el propósito de ampliar
la caracterización del rendimiento de estas representaciones en otros escenarios de aplicación.
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Transparencia
Conflicto de interés
Los autores declaran que no existen conflictos de interés de naturaleza alguna como parte de la
presente investigación.
Fuente de financiamiento
Los autores financiaron completamente la investigación.
Contribución de autoría
Marlon Stalyn Cargua Cando: Conceptualización, metodología, software, validación, análisis formal,
investigación, gestión de datos, visualización, redacción - preparación del borrador original, redacción
- revisión y edición, financiamiento, administración del proyecto, recursos.
Guillermo Edvin Machado Sotomayor : Conceptualización, metodología, software, validación, análisis
formal, investigación, gestión de datos, visualización, redacción - revisión y edición, financiamiento,
recursos, supervisión.
Los autores contribuyeron activamente en el análisis de los resultados, revisión y aprobación del
manuscrito final.
Anexo
Los scripts de Python y Julia utilizados en esta investigación están disponibles públicamente en portal
GitHub (https://github.com/marleyns/benchmark_dual_quat.git) para permitir la verificación y
reproducción de los resultados.
