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Vol. 5 N° 1, enero-junio 2026 (368-385)
ISSN: 2960-8317
368
Artículo de investigación
Modelado de trayectorias de drones mediante interpolación matemática
para el análisis de la precisión de medición de superficies planas
Modeling of drone trajectories through mathematical interpolation for the
analysis of measurement accuracy on planar surfaces
Dennis Gabriel Cuadrado Ayala*
Universidad Nacional de Chimborazo
Riobamba - Ecuador
dgcuadrado.fic@unach.edu.ec
https://orcid.org/0009-0005-2641-7546
Klever Hernán Torres Rodríguez
Universidad Nacional de Chimborazo
Riobamba - Ecuador
ktorres@unach.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-3919-0812
*Correspondencia:
dgcuadrado.fic@unach.edu.ec
Cómo citar este artículo:
Cuadrado, D., & Torres, K. (2026).
Modelado de trayectorias de drones
mediante interpolación matemática para el
análisis de la precisión de medición de
superficies planas. Esprint Investigación, 5(1),
368-385.
https://doi.org/10.61347/ei.v5i1.255
Recibido: 29 de diciembre de 2025
Aceptado: 3 de febrero de 2026
Publicado: 9 de febrero de 2026
Resumen: El uso de drones en levantamientos topográficos ha incrementado la eficiencia
y la cobertura en la medición de superficies; sin embargo, la precisión de los resultados
depende críticamente de la altura de vuelo, el tipo de trayectoria y el tratamiento
matemático de los datos espaciales. En este contexto, el objetivo de este estudio fue
modelar las trayectorias de drones mediante interpolación polinómica de Lagrange, con
el fin de analizar su influencia en la precisión de la medición de superficies planas. La
metodología adoptó un enfoque cuantitativo de tipo experimental–analítico, evaluando
los errores de medición de área obtenidos por fotogrametría con drones a distintas
alturas de vuelo (50 m, 80 m y 120 m) y comparándolos con un método tradicional de
referencia. Se aplicaron pruebas estadísticas no paramétricas para identificar diferencias
significativas, y se desarrollaron modelos geométricos de trayectorias lineales y
parabólicas mediante técnicas de regresión, mínimos cuadrados e interpolación de
Lagrange, incorporando simulaciones con diferentes configuraciones de nodos y
métricas de error como RMSE y MAE. Los resultados evidenciaron que la altura de vuelo
de 80 m minimiza el error de medición, y que las trayectorias parabólicas interpoladas
presentan un desempeño significativamente superior en comparación con los recorridos
rectilíneos. Asimismo, se demostró que la interpolación de Lagrange de bajo grado,
empleando tres nodos representativos, ofrece el mejor equilibrio entre precisión y
estabilidad numérica, evitando el fenómeno de Runge asociado a polinomios de alto
orden. En conclusión, el estudio confirma que un modelado matemático adecuado de la
trayectoria del dron contribuye de manera sustancial a mejorar la precisión topográfica
y proporciona criterios objetivos para la planificación de vuelos fotogramétricos.
Palabras clave: Drones, fotogrametría, interpolación de Lagrange, modelado de
trayectorias, precisión de medición.
Abstract: The use of drones in topographic surveys has increased efficiency and coverage in
surface measurements; however, the accuracy of the results depends critically on flight altitude,
trajectory type, and the mathematical processing of spatial data. In this context, the objective of
this study was to model drone trajectories using Lagrange polynomial interpolation in order to
analyze their influence on the accuracy of flat-surface measurements. The methodology adopted a
quantitative experimental–analytical approach, evaluating area measurement errors obtained
through drone-based photogrammetry at different flight altitudes (50 m, 80 m, and 120 m) and
comparing them with a traditional reference method. Nonparametric statistical tests were applied
to identify significant differences, and geometric models of linear and parabolic trajectories were
developed using regression techniques, least squares, and Lagrange interpolation, incorporating
simulations with different node configurations and error metrics such as RMSE and MAE. The
results showed that a flight altitude of 80 m minimizes measurement error and that interpolated
parabolic trajectories exhibit significantly superior performance compared to rectilinear paths.
Furthermore, low-degree Lagrange interpolation using three representative nodes was shown to
provide the best balance between accuracy and numerical stability, avoiding the Runge
phenomenon associated with high-order polynomials. In conclusion, the study confirms that
appropriate mathematical modeling of drone trajectories substantially improves topographic
accuracy and provides objective criteria for the planning of photogrammetric flights.
Keywords: Drones, Lagrange interpolation, measurement accuracy, photogrammetry, trajectory
modeling.
Copyright: Derechos de autor 2026 Dennis
Gabriel Cuadrado Ayala, Klever Hernán
Torres Rodríguez.
Esta obra está bajo una licencia internacional
Creative Commons Atribución-
NoComercial 4.0.
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1. Introducción
En Ingeniería Civil, la obtención precisa de datos topográficos de terrenos es fundamental para
garantizar la viabilidad y seguridad de los proyectos constructivos (Kang, 2025). El uso de drones como
herramienta para el levantamiento de superficies ha revolucionado los métodos tradicionales,
ofreciendo mayor rapidez y acceso a zonas complejas (Trubia et al., 2021). No obstante, la calidad y
precisión de los datos recolectados dependen en gran medida de la trayectoria que el dron recorre
durante el vuelo (Abid et al., 2025).
Desde el punto de vista matemático, estas trayectorias pueden modelarse como funciones
interpoladas a partir de un conjunto de puntos conocidos (nodos), que representan coordenadas
espaciales obtenidas mediante GPS u otros sensores (Poorvi et al., 2025). En este contexto, la
interpolación de Lagrange ofrece una técnica sólida y explícita para construir funciones polinómicas
que atraviesan dichos puntos, lo que permite simular trayectorias continuas del dron (Gimenez, 2018;
Navas-Torres & Borrás, 2024).
Diversos estudios recientes han explorado aspectos relacionados con el uso de vehículos aéreos no
tripulados (UAVs) para levantamientos topográficos. Brent et al. (2021) examinaron la practicidad y
precisión de la cartografía topográfica mediante drones, comparándola con los métodos topográficos
tradicionales, y concluyeron que la cartografía topográfica con drones puede generar mapas con una
precisión aceptable para la nivelación general del sitio, además de ahorrar tiempo y reducir el error
humano.
Dilmaç et al. (2026) evidenciaron que parámetros de procesamiento como la configuración de los
ground control points (GCPs), la superposición de imágenes y los patrones de vuelo influyen
significativamente en la calidad de los productos topográficos generados por UAVs. De manera
similar, Lemus-Romani et al. (2025) evaluaron el impacto de diferentes configuraciones de parámetros
de vuelo de UAVs (altura, solapamientos, ángulo de cámara y patrón) en la calidad visual de los
ortomosaicos y la eficiencia operativa en un área urbana de 1.5 hectáreas, concluyendo que volar a
menor altura aumenta el detalle visual a costa de una mayor duración del procesamiento, mientras
que un solapamiento excesivo no garantiza una mejor calidad final.
Otra línea de investigación reciente se centra en el desarrollo de metodologías para la planificación
de trayectorias de vuelo de UAVs, abordando retos como el diseño de rutas óptimas que consideren
aspectos de eficiencia energética, seguridad y respuesta dinámica del sistema (Meng et al., 2025). En
estos enfoques, si bien se examinan algoritmos avanzados y técnicas de planificación, generalmente no
se profundiza en los efectos matemáticos de la interpolación sobre la precisión topográfica, dejando un
espacio para investigaciones centradas en la relación entre el procesamiento numérico de trayectorias
y la fidelidad de los datos captados (Kumar et al., 2025; Sheltami et al., 2025).
A pesar de los constantes avances, el problema de investigación que motiva este estudio radica en
la necesidad de comprender cómo las características matemáticas de los métodos de interpolación
polinómica, particularmente la interpolación de Lagrange, influyen en la precisión de las mediciones
topográficas obtenidas mediante drones sobre superficies planas. Aunque la topografía con drones ha
demostrado ser eficaz y precisa, no existe una evaluación exhaustiva del efecto de las configuraciones
nodales o de la estructura de los polinomios interpolantes sobre el error métrico en los datos finales.
Además, el comportamiento oscilatorio de los polinomios de Lagrange de alto grado (fenómeno de
Runge), así como la sensibilidad a la distribución de nodos, pueden introducir desviaciones no deseadas
en las trayectorias simuladas, lo cual repercute en la calidad del levantamiento topográfico. Esto plantea
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la necesidad de investigar cómo las características matemáticas de la interpolación polinómica afectan la
fidelidad geométrica del vuelo respecto al terreno y, por ende, la precisión de los datos obtenidos.
Por lo tanto, el objetivo general del estudio es modelar trayectorias de drones mediante
interpolación polinómica de Lagrange para analizar su influencia en la precisión de la medición de
superficies planas (terrenos), en el contexto del levantamiento topográfico aplicado a la Ingeniería
Civil.
Para ello, se establecen los siguientes objetivos específicos: (a) realizar un modelo comparativo del
procesamiento matemático de datos topográficos obtenidos mediante métodos tradicionales y
mediante drones, utilizando herramientas de análisis numérico e interpolación, para identificar las
diferencias en la generación y precisión de superficies planas (terrenos); (b) desarrollar un modelo
computacional de trayectorias de drones basado en interpolación de Lagrange y mínimos cuadrados,
a partir de nodos seleccionados y coordenadas espaciales reales o simuladas, para representar de forma
precisa el recorrido del dron sobre terrenos planos; y (c) evaluar el impacto de las trayectorias
interpoladas en la precisión de las mediciones topográficas, mediante análisis comparativos y
simulaciones con distintas configuraciones de nodos, a fin de validar la efectividad del modelo
matemático propuesto frente a métodos tradicionales.
2. Metodología
Enfoque Metodológico y Diseño del estudio
La presente investigación adoptó un enfoque cuantitativo de tipo experimental-analítico, centrado en
evaluar cómo la altura de vuelo y el tipo de trayectoria del dron influyeron en la precisión de las
mediciones de áreas en superficies planas mediante fotogrametría. Este diseño integró análisis
estadístico descriptivo e inferencial, modelamiento geométrico de trayectorias, interpolación
polinómica por el método de Lagrange, simulación de configuraciones de nodos y validación gráfica
y matemática, con el objetivo de determinar las condiciones óptimas de vuelo y el modelo geométrico
más estable para la estimación de áreas.
Fase I: Evaluación del Efecto de la Altura de Vuelo sobre el error de medición
Posteriormente, se realizó un análisis descriptivo y exploratorio por altura, calculando la media del
error, la desviación estándar, los valores mínimo y máximo, así como representaciones gráficas
mediante diagramas de dispersión y líneas de tendencia. La verificación de supuestos estadísticos
reveló que los errores no seguían una distribución normal, por lo que se empleó la prueba no
paramétrica de Kruskal-Wallis para contrastar diferencias significativas entre alturas, seguida de la
prueba post hoc de Dunn con corrección de Bonferroni. Los resultados indicaron que la altura de 80 m
exhibía el menor error medio, menor variabilidad y diferencias estadísticamente significativas respecto
a 50 m y 120 m, por lo que se seleccionó como la altura óptima para la fase subsiguiente.
Fase II: Evaluación de impacto por tipo de trayectoria
En la Fase II, con la altura fijada en 80 m, se evaluó el impacto del tipo de trayectoria, lineal o parabólica,
en la precisión del modelo, junto con el efecto de la interpolación y la configuración de nodos. Para
cada trayectoria, se obtuvieron 30 observaciones reales de coordenadas espaciales (x, y, z), área
estimada y error absoluto, las cuales fueron ampliadas a 50 mediante la técnica de bootstrap. El análisis
estadístico incluyó estadísticos descriptivos del error, verificación de normalidad mediante la prueba
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de Shapiro-Wilk, histogramas y gráficos Q-Q, lo que nuevamente confirmó la no normalidad de los
datos y justificó la aplicación de la prueba no paramétrica de Mann-Whitney para comparar el
desempeño entre trayectorias.
Modelado geométrico
El modelamiento geométrico se centró en el plano XY a altura constante. Para la trayectoria lineal, se
ajustó un modelo de regresión lineal y = −2.82 − 1.518x, con un coeficiente de determinación R² = 0.99,
representando un desplazamiento rectilíneo uniforme. En contraste, la trayectoria parabólica se
modeló mediante interpolación polinómica de Lagrange de segundo grado, y = 29.888 + 0.1876x +
0.036x², con un coeficiente de determinación R² = 0.80, donde el término cuadrático resultó
estadísticamente significativo, validando su curvatura y la idoneidad de la interpolación polinómica.
Criterios de evaluación y validación
Se analizó el efecto de la configuración de nodos en la trayectoria parabólica, construyendo modelos
interpolantes con distintas cantidades de puntos y evaluándolos mediante el error cuadrático medio
(RMSE), el error absoluto medio (MAE) y gráficos de dispersión. Adicionalmente, la validación de los
modelos se basó en criterios integrales: magnitud y variabilidad del error medio, significancia
estadística, estabilidad geométrica y coherencia física del recorrido, lo que permitió asegurar la
robustez de las conclusiones. Esta combinación validó de manera matemática y gráfica los hallazgos,
garantizando el rigor metodológico del estudio.
3. Resultados
El análisis comparativo del procesamiento matemático de los datos topográficos se realizó a partir de
mediciones obtenidas mediante un método tradicional con cinta métrica, empleado como valor de
referencia del área real, y de mediciones adquiridas mediante dron a tres alturas de vuelo: 50 m, 80 m
y 120 m. Para cada altura se dispuso inicialmente de 30 observaciones del área calculada por
fotogrametría, a partir de las cuales se estimó el error como la diferencia entre el área medida con dron
y el área obtenida por el método convencional.
Con el fin de mejorar la robustez del análisis, se implementó un procedimiento de remuestreo
bootstrap estratificado por altura, generándose 20 observaciones adicionales por nivel de vuelo, lo que
dio lugar a una base de datos ampliada de 150 registros (50 por altura, de los cuales 30 correspondieron
a datos reales y 20 a datos simulados). El análisis descriptivo demostró que el paralelismo entre las
estadísticas de los datos reales y simulados validó el procedimiento realizado y la idoneidad de la base
ampliada para la comparación entre alturas. La Tabla 1 resume la estructura de la base de datos
utilizada para el análisis comparativo.
Tabla 1
Descripción de la base de datos por altura de vuelo
Altura (m) Tipo de dato n Área media (m
2
) DE Área mín – max (m
2
)
50 Real 30 2937.0 0.47 2936.0 – 2938.0
50 Simulado 20 2937.0 0.45 2936.0 – 2938.0
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80 Real 30 2939.0 0.62 2938.0 – 2940.0
80 Simulado 20 2939.0 0.60 2938.0 – 2940.0
120 Real 30 2937.0 0.48 2937.0 – 2938.0
120 Simulado 20 2937.0 0.50 2937.0 – 2938.0
Comportamiento del error de medición según la altura de vuelo
Una vez consolidada la base de datos, se analizó el error de medición del área para cada altura,
tomando como referencia el área real. La figura 1 mostró gráficamente un comportamiento no lineal
del error con respecto a la altura de vuelo. A 50 m se observó un error medio elevado, mientras que a
80 m el error medio alcanzó su valor mínimo; a 120 m, el error volvió a incrementarse, mostrando un
patrón similar al de 50 m. Este resultado reforzó la idea de que la relación entre altura de vuelo y error
no es lineal, sino que presenta un mínimo en una altura intermedia, en coherencia con el objetivo del
estudio.
Figura 1
Media del error en función de la altura de vuelo
Contrastes de normalidad e implicaciones para el modelo comparativo
Antes de aplicar pruebas inferenciales, se verificó el supuesto de normalidad del error mediante la
prueba de Shapiro–Wilk para cada altura. Los resultados de la tabla 2 evidenciaron valores de p
inferiores a 0,05 en los tres niveles de vuelo, lo que indicó el incumplimiento del supuesto de
normalidad en todos los grupos. Estos resultados justificaron el uso de pruebas no paramétricas
basadas en rangos para la comparación del error entre alturas.
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Tabla 2
Prueba de normalidad de Shapiro–Wilk para el error por altura
Altura (m) Estadístico W p - valor Decisión (α = 0,05)
50 W (50 m) 0.0322 Los datos no siguen una distribución normal
80 W (80 m) 0.0417 Los datos no siguen una distribución normal
120 W (120 m) 0.0146 Los datos no siguen una distribución normal
Comparación inferencial del error entre alturas de vuelo
Dado el incumplimiento del supuesto de normalidad, se aplicó la prueba no paramétrica de Kruskal–
Wallis para evaluar si existían diferencias significativas en el error del cálculo del área entre las tres
alturas de vuelo. El contraste arrojó un estadístico chi-cuadrado de 98,8 con 2 grados de libertad y un
valor de p inferior a 0,05, por lo que se rechazó de forma concluyente la hipótesis nula de igualdad de
medianas. La Tabla 3 recoge los principales resultados del contraste global de Kruskal–Wallis.
Tabla 3
Resultados de la prueba de Kruskal–Wallis para el error por altura
Prueba gl χ² p - valor Interpretación
Kruskal-Wallis 2 98.8 < 2.2x10
-18
Diferencias significativas entre alturas
Por lo tanto, los hallazgos confirmaron que la altura de vuelo influye de manera significativa en el
error del cálculo del área y que al menos una de las alturas presenta un comportamiento claramente
distinto. Para identificar los pares de alturas responsables de estas diferencias, se aplicó la prueba post
hoc de Dunn con corrección de Bonferroni. Los resultados de la Tabla 4 indicaron diferencias
estadísticamente significativas entre 50 m y 80 m, así como entre 80 m y 120 m, pero no entre 50 m y
120 m.
Tabla 4
Prueba post-hoc de Dunn con corrección de Bonferroni
Comparación p-ajustada Interpretación
120 m – 50 m 0.6086 No significativa
120 m – 80 m 8.97 × 10⁻¹⁵ Diferencia altamente significativa
50 m – 80 m 1.49 × 10⁻¹⁹ Diferencia altamente significativa
En términos prácticos, estos resultados demostraron que la variación del error con la altura no sigue
una tendencia monótonamente creciente o decreciente, sino que presenta un mínimo en la altura
intermedia, identificando a 80 m como la condición óptima de vuelo para el análisis posterior de
trayectorias.
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Trayectoria parabólica basada en mínimos cuadrados
A partir de ocho puntos experimentales correspondientes al recorrido parabólico del dron sobre el
plano z = 80, se obtuvo la nube de nodos que sirvió de base para el modelado geométrico. Estos puntos,
que representan posiciones discretas del dron durante el vuelo, se presentan en la Tabla 5.
Tabla 5
Nodos experimentales de la trayectoria parabólica a 80 m
Punto Tipo x (m) y (m) z (m)
1 Parábola 0,00 0,00 80
2 Parábola 5,00 38,16 80
3 Parábola 10,00 65,77 80
4 Parábola 15,00 82,84 80
5 Parábola 18,69 79,80 80
6 Parábola 22,00 75,74 80
7 Parábola 27,00 60,77 80
8 Parábola 32,00 35,49 80
La Figura 2 ilustró los puntos discretos sobre el plano horizontal y la curva interpolada que define
la trayectoria parabólica, evidenciando un recorrido curvo suave a altura constante. El plano
sombreado a z = 80 permitió interpretar el movimiento como estrictamente horizontal, simplificando
el análisis geométrico de la trayectoria.
Figura 2
Trayectoria parabólica del dron sobre el plano z
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Sobre estos ocho puntos se ajustó un modelo cuadrático mediante mínimos cuadrados ordinarios,
de la forma =
+ + , obteniéndose la siguiente ecuación:
() = 0,2467897
+ 8,948511 + 0,3362539
El ajuste presenta un coeficiente de determinación
= 0.9954y un coeficiente de determinación
ajustado
aj
= 0.9936, lo que indica que el modelo explica más del 99,5 % de la variabilidad observada
en la trayectoria. Los términos lineal y cuadrático resultaron altamente significativos ( < 10
),
mientras que el intercepto no fue estadísticamente significativo, lo que confirma que la curvatura
parabólica representa adecuadamente el movimiento del dron. Los residuos oscilaron
aproximadamente entre −2,02 m y 3,80 m y no presentaron patrones sistemáticos, lo cual respalda la
idoneidad del modelo parabólico. La tabla 6 resume los valores observados, estimados y los errores
correspondientes en cada nodo.
Tabla 6
Valores reales y estimados para la trayectoria parabólica
x (m) y real (m) y estimado (m) Error (m)
0,0 0,0 0,336 −0,336
5,0 38,2 38,9 −0,749
10,0 65,8 65,1 0,628
15,0 82,8 79,0 3,80
18,7 79,8 81,4 −1,58
22,0 75,7 77,8 −2,02
27,0 60,8 62,0 −1,27
32,0 35,5 34,0 1,51
A partir de esta función se construyó la parametrización tridimensional del vuelo, considerando un
parámetro continuo que recorre el intervalo [0,32]:
(
)
= ,
(
)
= 0,2467897
+ 8,948511 + 0,3362539,
(
)
= 80, [0,32]
Esta formulación paramétrica permite representar el desplazamiento del dron como un movimiento
continuo sobre un plano horizontal, lo que facilita análisis posteriores relacionados con la velocidad,
la aceleración y el control de la trayectoria.
Modelo por interpolación de Lagrange para la trayectoria parabólica
Con el fin de representar de manera exacta el recorrido del dron a partir de los nodos experimentales,
se empleó interpolación polinómica de Lagrange sobre el conjunto de puntos
(
,
)
correspondientes
a la trayectoria parabólica. El polinomio interpolante se definió como:
(
)
=
(
)
,
(
)
=
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En una primera etapa, se construyó un polinomio de grado siete utilizando los ocho nodos
disponibles ( = 8), obteniéndose un interpolante que reproduce exactamente todos los puntos
medidos, con residuo nulo en los nodos. Este polinomio de alto grado se utilizó principalmente como
herramienta de validación matemática, con el objetivo de confirmar la coherencia de los datos
experimentales y la correcta implementación del método de interpolación.
No obstante, dado que los polinomios de orden elevado tienden a presentar oscilaciones no
deseadas y un comportamiento numérico inestable, el modelo de grado siete no se adoptó como
representación final de la trayectoria. En su lugar, se seleccionaron tres nodos representativos (inicio,
punto de máxima altura y final), a partir de los cuales se obtuvo un polinomio interpolante de segundo
grado:
() = 9,4170 0,2596
Este polinomio cuadrático proporciona una trayectoria parabólica suave y físicamente coherente,
reduciendo las oscilaciones asociadas a polinomios de mayor grado. La correspondiente
parametrización tridimensional, para [0,32], se expresa como:
(
)
= ,
(
)
= 9,4170 0,2596
, () = 80
La Figura 3 muestra la curva parabólica ajustada, que pasa exactamente por los tres nodos
seleccionados, con buena concordancia visual respecto a la trayectoria observada y una geometría
realista para el desplazamiento del dron. En este sentido, la interpolación de Lagrange con tres nodos
ofrece un compromiso adecuado entre precisión y estabilidad numérica, manteniendo la forma
parabólica y evitando el sobreajuste.
Figura 3
Lagrange con 2 nodos (grado 2)
Modelo paramétrico de la trayectoria rectilínea
Además del modelo parabólico, se consideró una trayectoria rectilínea ideal como caso de referencia
para el movimiento del dron sobre el plano = 80. En este escenario, la coordenada horizontal
permanece constante en 10 m, mientras que el desplazamiento ocurre exclusivamente a lo largo del
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eje , desde 0 m hasta 79,8 m, manteniendo una altura de vuelo constante. La trayectoria rectilínea se
describió mediante la siguiente parametrización:
(
)
= 10,
(
)
= 79,8,
(
)
= 80, [0,1]
Como alternativa, si se desea que el parámetro represente directamente la distancia recorrida, el
modelo puede expresarse como:
(
)
= 10,
(
)
= ,
(
)
= 80, [0,79,8]
Dado que en esta trayectoria la coordenada es constante, no es posible expresar el movimiento
mediante una función del tipo = ()en sentido estricto, lo que limita el uso directo de la regresión
lineal clásica con como variable independiente. En este contexto, la representación paramétrica
resulta más adecuada y, desde el punto de vista de la interpolación, la trayectoria rectilínea puede
interpretarse como el resultado de una interpolación de Lagrange de primer grado entre dos nodos
extremos
(
,
)
y
(
,
)
, dado por:
() =
+
En efecto, la interpolación de Lagrange aplicada a dos puntos conduce a un polinomio de primer
grado que pasa exactamente por dichos nodos, lo que la hace matemáticamente equivalente al ajuste
lineal en este caso particular. Por ello, no fue necesario un procedimiento adicional de interpolación
para la trayectoria rectilínea, ya que la parametrización propuesta define completamente el recorrido
del dron. La figura 4 representa esta trayectoria como un segmento vertical en el plano , con altura
constante, correspondiente a un desplazamiento uniforme ideal.
Figura 4
Trayectoria rectilínea del dron sobre el plano z=80 m
En el caso de la trayectoria parabólica, el ajuste cuadrático ofrece un modelo altamente explicativo
y estadísticamente significativo, mientras que la versión interpolante de segundo grado, basada en tres
nodos, proporciona una representación más estable desde el punto de vista numérico y geométrico.
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Por su parte, la trayectoria rectilínea se describe de manera natural mediante una parametrización
lineal, que coincide conceptualmente con una interpolación de Lagrange de primer grado entre los
puntos extremos.
Para evaluar el impacto de las trayectorias interpoladas en la precisión de las mediciones
topográficas se trabajó sobre la trayectoria parabólica del dron a 80 m de altura, modelada mediante
interpolación de Lagrange a partir de los nodos experimentales
(
,
)
del recorrido. La trayectoria
rectilínea se utilizó únicamente como referencia conceptual, mientras que el análisis cuantitativo
principal se centró en el modelo parabólico, por ser el que incorpora de forma explícita la variación
geométrica del movimiento.
Preparación de datos e implementación de la interpolación
En una primera etapa, se preparó la base de datos de nodos de la trayectoria parabólica,
estandarizando nombres de variables, convirtiendo las columnas x, y (z, si existía) a formato numérico
y filtrando únicamente los registros identificados como “parabola”, ordenados por x. Este
preprocesamiento garantizó la ausencia de duplicados en x, condición necesaria para la aplicación de
la interpolación de Lagrange como función univaluada en dicha variable.
Sobre este conjunto de nodos se definió un polinomio interpolante de Lagrange de orden k, de la
forma:
(
)
=
(
)
,
(
)
=
Asegurando que el polinomio pase exactamente por los nodos utilizados. Este esquema se empleó
como núcleo del procedimiento de simulación con distintas configuraciones de nodos.
Métricas de precisión y esquema de simulación por configuraciones de nodos
El impacto de las trayectorias interpoladas en la precisión se cuantificó mediante métricas de error en
validación cruzada sobre la propia trayectoria, evaluando la capacidad del modelo para predecir
puntos no utilizados en el ajuste. Para cada configuración de nodos se calculó la raíz del error
cuadrático medio (RMSE), error absoluto medio (MAE) y error máximo absoluto.
Para cada tamaño de muestra k (número de nodos seleccionados), se implementó un remuestreo
intensivo: en cada iteración se elegía aleatoriamente un subconjunto de k nodos, se construía el
polinomio interpolante
(
)
, se evaluaba en los puntos no usados para el ajuste y se computaban
RMSE, MAE y error máximo. Repitiendo este procedimiento B veces por cada k (por ejemplo, B = 2000),
se obtuvo una distribución empírica del error asociada a cada configuración de nodos. Como
referencia, se incluyó el caso = (todos los nodos disponibles), en el cual el polinomio interpolante
reproduce exactamente todos los puntos, produciendo error nulo por construcción.
Resultados del análisis de sensibilidad frente al número de nodos
La Tabla 7 sintetiza los resultados del análisis de sensibilidad del modelo interpolante respecto al
número de nodos utilizados, considerando como métrica principal el RMSE, junto con medidas de
dispersión.
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Tabla 7
Desempeño del modelo interpolante según número de nodos
Número de
nodos (k)
Polinomio
RMSE
mediano
Dispersión (IQR) Comportamiento cualitativo
3
Grado 2
(parabólico)
4,90 Baja Modelo estable y suave
4 - 5 Grado 3–4
Mayor que
k=3
Moderada–alta
Aumento de error, inicio de
sobreajuste
6 - 7 Grado 5–6 Elevado Alta
Polinomio inestable, fenómeno de
Runge
8 Grado 7
0 (en
nodos)
Muy alta fuera de
nodos
Interpolación exacta sin capacidad
predictiva
Los resultados muestran que la configuración k = 3, correspondiente a una interpolación parabólica
de segundo grado, presenta el menor RMSE mediano y la menor dispersión, lo que indica un modelo
preciso y numéricamente estable. A medida que aumenta el número de nodos, el error se incrementa
y la variabilidad de la distribución de RMSE se amplía, evidenciando el inicio de un comportamiento
de sobreajuste. La Figura 5 ilustra visualmente este comportamiento, mostrando un mínimo claro en
k=3, seguido de un aumento progresivo del error y de la inestabilidad al incrementar el número de
nodos.
Figura 5
Relación entre el número de nodos y la estabilidad del modelo interpolante
Validación del modelo parabólico y efectos sobre la precisión topográfica
En coherencia con los resultados anteriores, la interpolación parabólica con tres nodos (inicio, punto
de máxima altura y final) se adoptó como configuración óptima del modelo de trayectoria. Este modelo
proporciona un equilibrio adecuado entre precisión (bajo RMSE y MAE), estabilidad numérica (baja
variabilidad en los errores) y representatividad geométrica del recorrido real del dron.
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Desde la perspectiva de la medición topográfica, el análisis del error absoluto y del error cuadrático
medio mostró que las trayectorias interpoladas de bajo orden describen mejor el comportamiento del
dron y producen estimaciones de área más consistentes frente a la referencia tradicional. En particular,
la comparación con la trayectoria rectilínea evidenció que el modelo parabólico interpolado no solo
reproduce de manera más realista el recorrido, sino que también reduce el error de cálculo del área,
reforzando su idoneidad para aplicaciones fotogramétricas de precisión.
La Figura 6 muestra que: para k=3, el RMSE es bajo, estable y sin valores extremos relevantes; para
k=4 y k=5, se produce un aumento del error y de la dispersión, acompañado de la aparición de valores
atípicos, señalando el inicio del sobreajuste; para k=6 y k=7, el RMSE y la variabilidad se incrementan
de forma marcada, con numerosos outliers que reflejan un comportamiento oscilatorio propio de
polinomios de alto grado; para k=8, el error se anula solo por la interpolación exacta de todos los
puntos, pero el modelo deja de ser fiable como herramienta predictiva.
Figura 6
Impacto de la configuración de nodos (Lagrange) en la precisión
4. Discusión
Los resultados de este estudio muestran que la precisión en el cálculo de áreas mediante fotogrametría
con drones depende de manera conjunta e interrelacionada de la altura de vuelo, del tipo de trayectoria
y de la configuración de nodos utilizada en la interpolación del recorrido. En particular, se identificó
una altura intermedia de 80 m como nivel óptimo de operación, se evidenció un desempeño superior
de las trayectorias parabólicas frente a las rectilíneas y se demostró que los modelos interpolantes de
bajo grado (tres nodos, grado dos) ofrecen el mejor compromiso entre precisión métrica y estabilidad
numérica. Estos hallazgos permiten discutir el problema no solo desde una perspectiva aplicada de la
fotogrametría, sino también desde los fundamentos de la interpolación polinómica y la planificación
de trayectorias en vehículos aéreos no tripulados (UAV).
Altura de vuelo y precisión fotogramétrica
La identificación de 80 m como la altura de vuelo con menor error medio y menor variabilidad en la
estimación del área, en contraste con los errores mayores observados a 50 m y 120 m, confirma
empíricamente que la relación entre altura de vuelo y precisión no es lineal. Este comportamiento es
coherente con estudios previos en fotogrametría con UAV, los cuales han demostrado que la variación
de la altura modifica simultáneamente la resolución espacial, la geometría de captura y la calidad del
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ajuste fotogramétrico, de modo que una menor altura no garantiza necesariamente una mayor
precisión global (Tan et al., 2024; Zhong et al., 2025).
Además, investigaciones recientes que analizan la influencia conjunta de la altura y otros parámetros
de planificación, como el número de puntos de control o el solape longitudinal y transversal, han
documentado que la exactitud puede degradarse progresivamente al aumentar la altura, pero también
señalan que el diseño óptimo depende de un compromiso entre resolución, cobertura y estabilidad
geométrica del bloque fotogramétrico (Elhadary et al., 2022; Rabiu & Ahmad, 2023).
En este contexto, el presente estudio aporta evidencia específica y cuantificable al mostrar que el
error en la estimación del área alcanza un mínimo en una altura intermedia, resultado sustentado tanto
en análisis estadísticos robustos como en la comparación directa con un valor de referencia obtenido
mediante medición tradicional. A diferencia de gran parte de la literatura, centrada en errores de
coordenadas o modelos digitales de elevación, este trabajo cuantifica explícitamente el error en el
cálculo del área de una superficie plana, lo que permite traducir los resultados en criterios operativos
claros para la planificación de vuelos orientados a cartografía de precisión.
Tipo de trayectoria y precisión en el cálculo del área
La comparación entre el recorrido lineal y el recorrido parabólico, manteniendo constante la altura de
vuelo en 80 m, evidenció diferencias altamente significativas en el error del cálculo del área, con una
reducción superior a un orden de magnitud a favor de la trayectoria parabólica. Este resultado indica
que, incluso bajo condiciones de altura óptima, la geometría del trayecto del dron tiene un impacto
determinante sobre la precisión de los productos topográficos, un aspecto que ha recibido menor
atención que otros parámetros clásicos como el solape o la distribución de puntos de control.
Estudios recientes sobre planificación de trayectorias para UAV han propuesto el uso de
trayectorias suaves basadas en polinomios o splines, con el objetivo de garantizar factibilidad
dinámica, mejorar la eficiencia del vuelo y estabilizar la captura de datos (Farid et al., 2019; Yang et al.,
2023). Los resultados obtenidos en este trabajo son consistentes con dicha línea de investigación, ya
que demuestran que un recorrido parabólico, ajustado a partir de coordenadas reales y validado
mediante mínimos cuadrados, no solo describe de manera más realista el movimiento del dron, sino
que se traduce en una mejora sustantiva de la precisión en la estimación de áreas.
Configuración de nodos y estabilidad del modelo
Un aporte central de este estudio es el análisis sistemático del impacto del número de nodos en la
interpolación de Lagrange sobre la precisión del modelo de trayectoria. Los resultados muestran que
la interpolación con tres nodos (polinomio de segundo grado) presenta el menor RMSE y la menor
variabilidad, mientras que el incremento del número de nodos conduce a un aumento progresivo del
error y a una marcada inestabilidad numérica. Este comportamiento constituye una manifestación
empírica del fenómeno de Runge, ampliamente documentado en la teoría de interpolación polinómica,
donde se ha demostrado que los polinomios de alto grado con nodos aproximadamente
equiespaciados pueden generar oscilaciones artificiales y pérdida de capacidad predictiva.
En contraste, la configuración parabólica de bajo orden, basada en nodos representativos del
recorrido, ofrece un modelo geométricamente coherente con el movimiento real del dron, con errores
moderados y sin evidencias de oscilaciones espurias. Este resultado es consistente con recomendaciones
actuales en planificación y control de trayectorias para UAV, que favorecen el uso de polinomios de bajo
grado o esquemas segmentados para mejorar la estabilidad numérica y la robustez frente a
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perturbaciones (Bouček et al., 2024; Li et al., 2023). Así, el estudio demuestra que, en el contexto de
levantamientos topográficos, un modelo sencillo y bien condicionado puede resultar superior a
interpolaciones de alto grado que, aunque exactas en los nodos, degradan la precisión global.
Desde una perspectiva aplicada, los resultados permiten formular recomendaciones concretas para
la planificación de vuelos y el diseño de trayectorias en levantamientos topográficos con drones. En
primer lugar, la identificación de una altura intermedia óptima, en la que el error de área es mínimo y
la variabilidad se reduce, sugiere que las misiones fotogramétricas deberían planificarse buscando un
equilibrio entre resolución, cobertura y estabilidad geométrica. En segundo lugar, la evidencia a favor
de trayectorias suaves y físicamente realistas, como la parabólica, indica que la planificación de
recorridos puede complementar de manera efectiva los criterios tradicionales de solape y control en
tierra, mejorando la calidad final de los productos fotogramétricos.
Limitaciones y futuras líneas de investigación
Este estudio presenta limitaciones que deben considerarse al interpretar los resultados y que abren líneas
claras de investigación futura. En primer lugar, el análisis se centró en una superficie
predominantemente plana y en un conjunto específico de alturas de vuelo y parámetros instrumentales;
por tanto, la generalización de la altura óptima identificada debe realizarse con cautela, requiriendo
estudios adicionales en terrenos de mayor complejidad morfológica y con diferentes configuraciones de
cámara y solape. En segundo lugar, aunque el trabajo incorpora análisis estadísticos robustos y
simulaciones detalladas, no aborda explícitamente la influencia de factores ambientales como el viento,
las condiciones de iluminación o la calibración de la cámara, los cuales han sido identificados como
determinantes en la precisión de modelos 3D y ortomosaicos en investigaciones previas.
Futuras investigaciones podrían extender el enfoque propuesto a escenarios con variación de altura
durante el vuelo, trayectorias más complejas y el uso de interpolación por tramos o splines, así como
integrar criterios de optimización multiobjetivo que combinen precisión métrica, costo computacional
y restricciones dinámicas del UAV. Asimismo, resultaría de interés analizar la interacción entre la
configuración de nodos del modelo de trayectoria y la distribución de puntos de control en tierra, en
consonancia con estudios que han evaluado el impacto de los GCP en la exactitud de productos
fotogramétricos.
5. Conclusiones
Se demostró que la altura de vuelo de 80 m representa la configuración óptima para minimizar el error
en el cálculo de áreas mediante fotogrametría con drones, evidenciando una relación no lineal entre Se
demostró que una altura de vuelo intermedia de 80 m constituye la configuración óptima para
minimizar el error en el cálculo de áreas mediante fotogrametría con drones, evidenciándose una
relación no lineal entre la altura de vuelo y la precisión obtenida. En particular, los niveles extremos
analizados (50 m y 120 m) generaron errores estadísticamente equivalentes entre sí, pero
significativamente superiores al alcanzado en el nivel óptimo intermedio. Este resultado aporta un
criterio cuantitativo y replicable para la planificación de misiones fotogramétricas, al superar el
enfoque empírico de la medición directa y proporcionar un marco estadístico robusto para la
validación de superficies planas.
Asimismo, se desarrolló y validó exitosamente un modelo computacional basado en interpolación
de Lagrange y ajuste por mínimos cuadrados, capaz de representar con alta precisión las trayectorias
parabólica y rectilínea del dron a una altura constante de 80 m. Los resultados confirmaron la clara
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superioridad del modelo parabólico ajustado (R² = 0.995), así como la validez de su parametrización
tridimensional, lo que habilita su uso en análisis cinemáticos y aplicaciones avanzadas de planificación
de trayectorias. La formulación propuesta se consolida, por tanto, como una herramienta flexible y
extensible para el diseño geométrico de recorridos en tareas de reconocimiento, mapeo y
levantamientos topográficos de precisión.
Se comprobó que la interpolación de Lagrange con tres nodos (polinomio de segundo grado)
optimiza el equilibrio entre precisión y estabilidad numérica en el modelado de la trayectoria
parabólica, al evitar el fenómeno de Runge observado en configuraciones de mayor orden. Esta
configuración logró el menor RMSE y una mayor robustez numérica, confirmando la efectividad del
modelo propuesto frente a enfoques tradicionales. Al cuantificar de manera sistemática el impacto del
número de nodos sobre la calidad de las mediciones topográficas, el estudio aporta una base
metodológica sólida para la selección de modelos interpolantes en aplicaciones fotogramétricas con
vehículos aéreos no tripulados.
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Transparencia
Conflicto de interés
Los autores declaran que no existen conflictos de interés de naturaleza alguna como parte de la
presente investigación.
Fuente de financiamiento
Los autores financiaron completamente la investigación.
Contribución de autoría
Dennis Gabriel Cuadrado Ayala: Conceptualización, metodología, software, validación, análisis
formal, investigación, gestión de datos, visualización, redacción - preparación del borrador original,
redacción - revisión y edición, financiamiento, administración del proyecto, recursos, supervisión.
Klever Hernán Torres Rodríguez: Conceptualización, validación, análisis formal, investigación,
gestión de datos, redacción - preparación del borrador original, redacción - revisión y edición,
financiamiento, recursos, supervisión.
Los autores contribuyeron activamente en el análisis de los resultados, revisión y aprobación del
manuscrito final.
